Examkin

Soru

Zorluk: OrtaEn Küçük Kareler Yöntemi (Least Squares Estimation)

Ekonometrik ve istatistiksel modellemelerde parametre tahmini için sıklıkla En Küçük Kareler (EKK) yöntemi tercih edilmektedir. Yi=β0+β1Xi+ϵiY_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i biçimindeki basit doğrusal modelde, XiX_i açıklayıcı değişken değerlerinin sabit (stokastik olmayan) olduğu kabul edilmektedir.

Elde edilen β^0\hat{\beta}_0 ve β^1\hat{\beta}_1 EKK tahmin edicilerinin kitlenin gerçek parametreleri için yansız (unbiased) birer tahmin edici olabilmesi adına, gözlemlenemeyen hata terimleri (ϵi\epsilon_i) üzerine konulması gereken temel varsayım aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Hata terimlerinin beklenen değerinin sıfır olması, E(ϵi)=0E(\epsilon_i) = 0Cevap
  2. B
    Hata terimlerinin varyansının sabit olması, Var(ϵi)=σ2Var(\epsilon_i) = \sigma^2
  3. C
    Hata terimleri arasındaki kovaryansın sıfır olması, Cov(ϵi,ϵj)=0(i≠j)Cov(\epsilon_i, \epsilon_j) = 0 \quad (i \neq j)
  4. D
    Hata terimlerinin normal dağılıma sahip olması, ϵi∼N(0,σ2)\epsilon_i \sim N(0, \sigma^2)
  5. E
    Tahmin sonrası elde edilen kalıntıların toplamının sıfır olması, ∑i=1nei=0\sum_{i=1}^n e_i = 0

Cevap

Hata terimlerinin beklenen değerinin sıfır olması, E(ϵi)=0E(\epsilon_i) = 0
Bir tahmin edicinin yansız olabilmesi için beklenen değerinin tahmin edilen parametreye eşit olması gerekir. EKK tahmin edicileri hesaplanırken, doğrusal kombinasyonlar üzerinden E(ϵi)=0E(\epsilon_i) = 0 olduğu kabul edilirse E(β^1)=β1E(\hat{\beta}_1) = \beta_1 sonucuna ulaşılır. Sabit varyans, normal dağılım veya sıfır kovaryans özellikleri yansızlık için değil; etkinlik, normallik veya tutarlılık gibi diğer istatistiksel özellikler için gereklidir.

Adım Adım Çözüm

1
EKK yönteminde eğim parametresi tahmin edicisinin formülünü yazmak.
β^1=∑(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)∑(Xi−Xˉ)2\hat{\beta}_1 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2}
Tahmin edicinin matematiksel yapısını anlamak, beklenen değerini hesaplamanın ilk adımıdır.
2
Tahmin ediciyi gerçek parametre cinsinden ifade etmek.
β^1=β1+∑wiϵiburada wi=Xi−Xˉ∑(Xi−Xˉ)2\hat{\beta}_1 = \beta_1 + \sum w_i \epsilon_i \quad \text{burada } w_i = \frac{X_i - \bar{X}}{\sum (X_i - \bar{X})^2}
Yansızlık incelemesi için tahmin ediciyi sabitler (wiw_i, β1\beta_1) ve rastgele değişkenler (ϵi\epsilon_i) olarak ayırmak gerekir.
3
Eşitliğin her iki tarafının beklenen değerini (E) almak.
E(β^1)=E(β1)+∑wiE(ϵi)=β1+∑wiE(ϵi)E(\hat{\beta}_1) = E(\beta_1) + \sum w_i E(\epsilon_i) = \beta_1 + \sum w_i E(\epsilon_i)
Yansızlık koşulu olan E(β^1)=β1E(\hat{\beta}_1) = \beta_1 eşitliğinin sağlanması için gereken şartı bulmak.
4
Yansızlık için gereken koşulu belirlemek.
E(ϵi)=0E(\epsilon_i) = 0 varsayımı altında denklem E(β^1)=β1+0=β1E(\hat{\beta}_1) = \beta_1 + 0 = \beta_1 halini alır.
Tahmin edicinin beklenen değerinin gerçek parametreye eşit olmasını sağlayan temel varsayım budur.

Anahtar Kavram

EKK Tahmin Edicilerinin Yansızlık Özelliği ve Gauss-Markov Varsayımları
Bu soruyu puanla

Konular

En Küçük Kareler Yöntemi (Least Squares Estimation)

Bu konudan daha fazla soru