Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorEn Küçük Kareler Yöntemi (Least Squares Estimation)

Basit doğrusal regresyon analizinde, YY'nin XX değişkeni üzerine regresyon modeli Yi=β0+β1Xi+ϵiY_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i şeklinde tanımlanmış ve En Küçük Kareler (EKK) tahmini sonucunda hata kareler toplamı HKTY∣XHKT_{Y|X} olarak hesaplanmıştır.

Daha sonra aynı gözlem değerleri kullanılarak, bağımlı ve bağımsız değişkenlerin rolleri değiştirilmiş ve XX'in YY üzerine regresyon modeli Xi=α0+α1Yi+νiX_i = \alpha_0 + \alpha_1 Y_i + \nu_i şeklinde kurularak EKK yöntemiyle yeni bir hata kareler toplamı olan HKTX∣YHKT_{X|Y} elde edilmiştir.

Veri setindeki değişkenlerin varyanslarının sıfırdan farklı olduğu bilindiğine göre, hesaplanan hata kareler toplamlarının oranı olan HKTY∣XHKTX∣Y\frac{HKT_{Y|X}}{HKT_{X|Y}} aşağıdakilerden hangisine eşittir?

(Not: SXX=∑i=1n(Xi−Xˉ)2S_{XX} = \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 ve SYY=∑i=1n(Yi−Yˉ)2S_{YY} = \sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2 olarak tanımlanmıştır.)

  1. A
    SXY2SXXSYY\frac{S_{XY}^2}{S_{XX}S_{YY}}
  2. B
    11
  3. SYYSXX\frac{S_{YY}}{S_{XX}}Cevap
  4. D
    SXXSYY\frac{S_{XX}}{S_{YY}}
  5. E
    SYY2SXX2\frac{S_{YY}^2}{S_{XX}^2}

Cevap

İki modelin hata kareler toplamlarının oranı SYYSXX\frac{S_{YY}}{S_{XX}} ifadesine eşittir.
En Küçük Kareler (EKK) yönteminde hata kareler toplamı (HKT), determinasyon katsayısı (r2r^2) kullanılarak daha pratik şekilde ifade edilebilir. YY'nin XX üzerine regresyonunda HKTY∣X=SYY(1−r2)HKT_{Y|X} = S_{YY}(1-r^2), XX'in YY üzerine regresyonunda ise HKTX∣Y=SXX(1−r2)HKT_{X|Y} = S_{XX}(1-r^2) formülü geçerlidir. Korelasyon katsayısı (rr) değişkenlerin sırasından bağımsız ve simetrik olduğu için her iki modelde de aynıdır. Modellerin hata kareler toplamları oranlandığında ortak olan (1−r2)(1-r^2) çarpanları sadeleşir ve geriye doğrudan SYYSXX\frac{S_{YY}}{S_{XX}} kalır.

Adım Adım Çözüm

1
YY'nin XX üzerine regresyonu için Hata Kareler Toplamı (HKT) formülünü yazmak
HKTY∣X=SYY−SXY2SXXHKT_{Y|X} = S_{YY} - \frac{S_{XY}^2}{S_{XX}}
EKK yönteminde hata kareler toplamı, bağımlı değişkenin toplam kareler sapmasından (SYYS_{YY}), regresyon kareler sapmasının çıkarılmasıyla elde edilir.
2
XX'in YY üzerine regresyonu için Hata Kareler Toplamı formülünü uyarlamak
HKTX∣Y=SXX−SXY2SYYHKT_{X|Y} = S_{XX} - \frac{S_{XY}^2}{S_{YY}}
Bağımlı ve bağımsız değişkenler yer değiştirdiğinde, EKK formüllerindeki XX ve YY ifadeleri de simetrik olarak yer değiştirir.
3
İki modeli ortak paydada düzenleyerek oranlamak
HKTY∣XHKTX∣Y=SXXSYY−SXY2SXXSXXSYY−SXY2SYY\frac{HKT_{Y|X}}{HKT_{X|Y}} = \frac{\frac{S_{XX}S_{YY} - S_{XY}^2}{S_{XX}}}{\frac{S_{XX}S_{YY} - S_{XY}^2}{S_{YY}}}
Oranlama işlemi sırasında pay kısımlarındaki ifadelerin ortak olduğunu (SXXSYY−SXY2S_{XX}S_{YY} - S_{XY}^2) açıkça görmek için kesirler düzenlenir.
4
Ortak terimleri sadeleştirerek nihai orana ulaşmak
HKTY∣XHKTX∣Y=SYYSXX\frac{HKT_{Y|X}}{HKT_{X|Y}} = \frac{S_{YY}}{S_{XX}}
Ana kesirdeki bölme işlemi yapıldığında ortak terimler birbirini götürür ve paydadaki SYYS_{YY} yukarı çarpım olarak geçer.

Anahtar Kavram

EKK Yönteminde Hata Kareler Toplamının Özellikleri ve Değişken Simetrisi

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, determinasyon katsayısı r2r^2 kullanılarak HKT=ToplamKareler×(1−r2)HKT = Toplam Kareler \times (1-r^2) özelliğinden doğrudan tek adımda SYY(1−r2)/SXX(1−r2)S_{YY}(1-r^2) / S_{XX}(1-r^2) yazılarak sadeleştirme ile çözüme ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

En Küçük Kareler Yöntemi (Least Squares Estimation)

Bu konudan daha fazla soru