Examkin

Soru

Zorluk: OrtaEn Küçük Kareler Yöntemi (Least Squares Estimation)

Bir araştırmacı, XX bağımsız değişkeni ile YY bağımlı değişkeni arasındaki doğrusal ilişkiyi modellemek üzere n=10n = 10 birimlik bir örneklemden aşağıdaki özet istatistikleri elde etmiştir:

∑i=110xi=50 \sum_{i=1}^{10} x_i = 50
∑i=110yi=80 \sum_{i=1}^{10} y_i = 80
∑i=110xi2=350 \sum_{i=1}^{10} x_i^2 = 350
∑i=110xiyi=450 \sum_{i=1}^{10} x_i y_i = 450

Araştırmacı, hata kareler toplamını minimum yapan en küçük kareler yöntemini (EKK) kullanarak Yi=β0+β1Xi+εiY_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i modelini tahmin edecektir.

Buna göre, eğim parametresinin en küçük kareler tahmin edicisi (β^1\hat{\beta}_1) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 0.5Cevap
  2. B
    -0.5
  3. C
    1.6
  4. D
    2.0
  5. E
    5.5

Cevap

Modelin eğim parametresi olan 0.5 değeri doğru cevaptır.
En küçük kareler yöntemi (EKK), gözlenen değerler ile tahmin edilen değerler arasındaki hata terimlerinin kareleri toplamını (∑ei2\sum e_i^2) minimize etmeyi amaçlar. Bu minimizasyon problemi çözüldüğünde elde edilen normal denklemler sonucunda basit doğrusal regresyonda eğim parametresi β^1=n∑xiyi−(∑xi)(∑yi)n∑xi2−(∑xi)2\hat{\beta}_1 = \frac{n \sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)}{n \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2} veya Sxy/SxxS_{xy} / S_{xx} şeklinde formülleştirilir. Verilen istatistikler formülde yerine konduğunda pay 5050, payda ise 100100 olarak bulunur. Bu oran 0.50.5 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
En küçük kareler yöntemi eğim formülünün (Sxy/SxxS_{xy} / S_{xx}) gerektirdiği sapma kareler ve çarpımlar toplamı formüllerini yazmak.
Sxy=∑xiyi−(∑xi)(∑yi)nS_{xy} = \sum x_i y_i - \frac{(\sum x_i)(\sum y_i)}{n} ve Sxx=∑xi2−(∑xi)2nS_{xx} = \sum x_i^2 - \frac{(\sum x_i)^2}{n}
Hata kareler toplamını (∑εi2\sum \varepsilon_i^2) minimum yapan normal denklemlerin çözümü bu matematiksel oranı verir.
2
Verilen özet istatistikleri SxyS_{xy} (çarpımlar toplamı) formülünde yerine koymak.
Sxy=450−50×8010=450−400=50S_{xy} = 450 - \frac{50 \times 80}{10} = 450 - 400 = 50
Eğim katsayısının pay kısmını (kovaryansla orantılı değişimi) bulmak.
3
Verilen özet istatistikleri SxxS_{xx} (kareler toplamı) formülünde yerine koymak.
Sxx=350−50210=350−250010=350−250=100S_{xx} = 350 - \frac{50^2}{10} = 350 - \frac{2500}{10} = 350 - 250 = 100
Eğim katsayısının payda kısmını (X'in kendi varyansıyla orantılı değişimi) bulmak.
4
Eğim tahmin edicisini (β^1\hat{\beta}_1) hesaplamak.
β^1=SxySxx=50100=0.5\hat{\beta}_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{50}{100} = 0.5
Değişkenler arası ilişkinin yönünü ve büyüklüğünü belirten en küçük kareler oranını elde etmek.

Anahtar Kavram

En Küçük Kareler Yöntemi ile Basit Doğrusal Regresyon Normal Denklemleri
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

En Küçük Kareler Yöntemi (Least Squares Estimation)

Bu konudan daha fazla soru