Bir istatistiksel araştırmada, X_1, X_2, \dots, X_n bağımsız ve özdeş dağılımlı, başarı ol… — KPSS İstatistik

Bir istatistiksel araştırmada, $X_1, X_2, \dots, X_n$ bağımsız ve özdeş dağılımlı, başarı olasılığı $p$ olan Bernoulli dağılımından alınan rastgele bir örneklem olsun. Kitle varyansı olan $\theta = p(1-p)$ parametresini tahmin etmek için $T = \bar{X}(1-\bar{X})$ tahmin edicisi önerilmiştir.

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin yan miktarı (bias) aşağıdakilerden hangisidir?

$-\frac{p(1-p)}{n}$ Cevap
B
$\frac{p(1-p)}{n}$
C
$0$
D
$-p(1-p)$
E
$-\frac{p^2}{n}$

Cevap

Tahmin edicinin yan miktarı

-\frac{p(1-p)}{n}

değerine eşittir.

Doğru yanıt, tahmin edicinin beklenen değeri

E[\bar{X}(1-\bar{X})]

ile gerçek parametre olan

p(1-p)

arasındaki fark alınarak bulunur. Örneklem ortalamasının varyansından gelen

\frac{p(1-p)}{n}

terimi, beklenen değer hesabında negatif olarak ortaya çıkar ve bu da tahmin edicinin parametreyi tam olarak değil,

-\frac{p(1-p)}{n}

kadar eksik (yanlı) tahmin edeceğini gösterir.

Adım Adım Çözüm

Yan miktarının

B(T) = E[T] - \theta

formülü ile tanımlandığını belirleme

B(T) = E[\bar{X}(1-\bar{X})] - p(1-p)

Yan miktarı (bias), bir tahmin edicinin beklenen değeri ile tahmin edilen gerçek parametre arasındaki farktır.

T

tahmin edicisinin beklenen değerini bulmak için ifadeyi açma

E[T] = E[\bar{X} - \bar{X}^2] = E[\bar{X}] - E[\bar{X}^2]

Beklenen değer operatörünün lineerlik özelliğini kullanmak için çarpım durumundaki ifade polinoma dönüştürülür.

Bernoulli dağılımı için örneklem ortalamasının özelliklerini hatırlama

E[\bar{X}] = p

Var(\bar{X}) = \frac{p(1-p)}{n}

Örneklem ortalaması, kitle ortalamasına yansızdır ve varyansı kitle varyansının n'e bölümüdür.

E[\bar{X}^2]

değerini hesaplama

E[\bar{X}^2] = Var(\bar{X}) + (E[\bar{X}])^2 = \frac{p(1-p)}{n} + p^2

Herhangi bir X rassal değişkeni için Varyans tanımı

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2

eşitliğine dayanır.

Bulunan değerleri

E[T]

eşitliğinde yerine koyma

E[T] = p - \left( \frac{p(1-p)}{n} + p^2 \right) = p - p^2 - \frac{p(1-p)}{n} = p(1-p) - \frac{p(1-p)}{n} = \frac{n-1}{n}p(1-p)

Tahmin edicinin beklenen değerini tam olarak bulmak için temel parametreler cinsinden cebirsel düzenleme yapılır.

Yan miktarını (Bias) formülde yerine yazarak hesaplama

B(T) = \frac{n-1}{n}p(1-p) - p(1-p) = -\frac{p(1-p)}{n}

Adım 1'de kurulan ana formüle göre beklenen değerden kitle parametresi çıkarılır.

Anahtar Kavram

Nokta Tahmin Edicilerinde Yan (Bias) Miktarı Hesabı

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru