Varyans analizinde (ANOVA), k adet kitle ortalamasının eşitliğine yönelik kurulan sıfır hi… — KPSS İstatistik

Varyans analizinde (ANOVA), $k$ adet kitle ortalamasının eşitliğine yönelik kurulan sıfır hipotezi ( $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_k$ ) test edilirken, karar kuralı doğrudan örneklem ortalamaları arasındaki mutlak farklar yerine iki farklı varyans tahminleyicisinin oranı olan $F$ istatistiği ( $F = \frac{\text{Gruplar Arası Kareler Ortalaması}}{\text{Gruplar İçi Kareler Ortalaması}}$ ) üzerinden işletilmektedir.

Ortalamalar arasındaki farklılığı test etmek amacıyla doğrudan ortalamalar yerine varyansların oranlanması yaklaşımının ardındaki temel istatistiksel mantık ve teorik gerekçe aşağıdakilerden hangisinde en doğru şekilde ifade edilmiştir?

Sıfır hipotezi doğru olduğunda her iki varyans tahminleyicisinin de aynı ortak kitle varyansının ( $\sigma^2$ ) yansız tahminleyicisi olması; sıfır hipotezi yanlış olduğunda ise gruplar arası varyans tahminleyicisinin bu ortak varyansa ek olarak muamele etkilerinin bir fonksiyonunu da barındırmasıdır.Cevap
B
Sıfır hipotezinin reddedilmesi durumunda, hesaplanan $F$ istatistiğinin gruplardaki tüm evren ortalamalarının istisnasız olarak birbirinden farklı olduğunu kanıtlaması ve bu farkın varyansların oranıyla doğrudan hesaplanabilmesidir.
C
Genel kareler toplamının, gruplar arası ve gruplar içi kareler toplamlarına toplanabilirlik kuralı uyarınca ( $SST = SSTr + SSE$ ) eşit olması nedeniyle, muamele etkisinin yalnızca bu varyansların cebirsel toplamı ile test edilebilmesidir.
D
Araştırmacının belirlediği sabit düzeylerin deneysel hatayı minimize ederken, şansa bağlı olarak seçilen düzeylerin (tesadüfi model) varyansı maksimize ederek kitle ortalamaları arasındaki farkı $F$ testinde belirgin hâle getirmesidir.
E
Deneyin yapısında yer alan bağımsız faktörlerin doğrudan gruplar arası varyansı, bu faktörlerin alt kategorileri olan düzeylerin ise gruplar içi varyansı ölçmesi sayesinde varyans kaynaklarının birbirine karışmadan ayrıştırılabilmesidir.

Cevap

Sıfır hipotezi doğru olduğunda her iki varyans tahminleyicisinin de aynı ortak kitle varyansının (

\sigma^2

) yansız tahminleyicisi olması; sıfır hipotezi yanlış olduğunda ise gruplar arası varyans tahminleyicisinin bu ortak varyansa ek olarak muamele etkilerinin bir fonksiyonunu da barındırmasıdır.

ANOVA'nın en temel prensibi Beklenen Kareler Ortalaması (Expected Mean Squares) kurallarına dayanır. Sıfır hipotezi (

H_0

) doğruysa (muameleler arasında fark yoksa), Gruplar Arası Kareler Ortalaması (KOG) ve Gruplar İçi Kareler Ortalaması (KOİ) sadece rastgele deneysel hatayı (

\sigma^2

) ölçer. Bu durumda iki yansız tahminleyicinin oranı 1 etrafında dağılır. Eğer

H_0

yanlışsa (ortalamalar birbirinden farklıysa), KOİ yine sadece rastgele hatayı ölçmeye devam ederken, KOG, rastgele hataya ek olarak gruplar arasındaki sistematik farklılıktan (muamele etkisinden) kaynaklanan ekstra varyansı da barındırır. Bu ekstra bileşen payı büyüteceğinden oran 1'in üzerine çıkar. Varyansların oranlanmasının temel nedeni, gruplar arasındaki farkın doğrudan bu ekstra varyans bileşeni aracılığıyla test edilebilir olmasıdır.

Adım Adım Çözüm

Varyans analizinde test istatistiği olan F oranının teorik bileşenlerini incele.

Pay kısmı Gruplar Arası Kareler Ortalaması (KOG), payda kısmı Gruplar İçi Kareler Ortalaması (KOİ) bileşeninden oluşur.

Testin, ortalamalar arasındaki farkı neden varyans oranlarıyla araştırdığını irdelemek için.

Sıfır hipotezi (

H_0

) doğru iken (muamele etkisi yokken) KOG ve KOİ'nin beklenen değerlerini (EMS) analiz et.

Hem

E(KOG) = \sigma^2

hem de

E(KO\dot{I}) = \sigma^2

sonucuna ulaşılır. Böylece oran teorik olarak 1'e yakınsar.

Gruplar arasında fark yokken F değerinin davranışını modellemek için.

Alternatif hipotez (

H_1

) doğru iken KOG ve KOİ'nin içeriğini değerlendir.

Muamele etkisi devreye girdiğinde,

E(KOG) = \sigma^2 + n\sum \tau_i^2 / (k-1)

olurken, KOİ sadece rastgele hatayı (

\sigma^2

) tahmin etmeye devam eder. Pay büyüdüğü için F oranı 1'den anlamlı ölçüde büyük bulunur.

Ortalamalar farklılaştığında testin (F istatistiğinin) bu durumu, KOG'un içine sızan işlem varyansı üzerinden tespit ettiğini kanıtlamak için.

Anahtar Kavram

Beklenen Kareler Ortalaması (Expected Mean Squares) ve F Testinin Mantığı

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular