Varyans analizi (ANOVA), ikiden fazla kitle ortalamasının eşitliğini test etmek amacıyla g… — KPSS İstatistik

Varyans analizi (ANOVA), ikiden fazla kitle ortalamasının eşitliğini test etmek amacıyla gözlemlerdeki toplam değişkenliği bileşenlerine ayıran temel bir istatistiksel yöntemdir. İlk bakışta bir 'ortalamalar' testi olmasına rağmen bu yöntemin isminin 'varyans' analizi olmasının ve karar sürecinde varyans oranlarını ( $F$ ) kullanmasının çok temel bir teorik gerekçesi vardır.

Dengeli ve sabit etkili bir tek yönlü deney tasarımında, veriler üzerinden gruplar arası kareler ortalaması ( $KO_{Gruplar}$ ) ile gruplar içi (hata) kareler ortalaması ( $KO_{Hata}$ ) hesaplanarak test istatistiği elde edilmektedir.

Buna göre, ANOVA'da kitle ortalamaları hakkındaki sıfır hipotezinin ( $H_0$ ), hesaplanan bu varyansların oranı üzerinden test edilmesinin asıl istatistiksel ve teorik gerekçesi aşağıdakilerden hangisidir?

A
Sıfır hipotezi ( $H_0$ ) doğru olduğunda $KO_{Gruplar}$ değerinin teorik olarak sıfıra eşit olması beklenirken; alternatif hipotez ( $H_1$ ) doğru olduğunda bu değerin rastgele hatadan tamamen arınarak sadece işlem (muamele) etkisini yansıtmasıdır.
Sıfır hipotezi ( $H_0$ ) geçerliyken hem $KO_{Gruplar}$ hem de $KO_{Hata}$ 'nın ortak kitle varyansının ( $\sigma^2$ ) yansız tahmin edicileri olması; ancak $H_0$ geçersizken $KO_{Gruplar}$ 'ın ortak varyansa ek olarak işlem varyansını da içererek $KO_{Hata}$ 'dan sistematik olarak büyük hale gelmesidir.Cevap
C
Deneyin gücünü artırmak amacıyla $KO_{Hata}$ istatistiğinin deney tasarımı yoluyla maksimize edilerek, kitle ortalamaları arasındaki en küçük farklılıkların bile bu geniş varyans aralığında istatistiksel olarak yakalanabilmesidir.
D
Genel kareler toplamının, işlem ve hata kareler toplamlarına eşit miktarlarda bölünme ( $SSTr = SSE$ ) zorunluluğu nedeniyle, gruplar arasındaki farkların varyans bileşenleri üzerinden oransal bir dengeyle test edilmesinin matematiksel bir gereklilik olmasıdır.
E
Tesadüfi modellerde (Model II) düzeyler araştırmacı tarafından kasıtlı seçilmediği için ortalamalar arası farkların geleneksel testlerle bulunamaması ve ortalamalar yerine yalnızca bu varyans dalgalanmalarının test edilmek zorunda kalınmasıdır.

Cevap

Varyans analizinin temelini, gruplar arası ve gruplar içi varyansların sıfır hipotezi doğruyken aynı ortak varyansı tahmin etmesi, sıfır hipotezi yanlışken ise gruplar arası varyansın işlem etkisini de içerecek şekilde büyümesi oluşturur.

ANOVA'da F testinin temeli Beklenen Kareler Ortalamaları'na (Expected Mean Squares) dayanır. Kitle ortalamaları birbirine eşitse (

H_0

), gruplar arasındaki farklılıklar sadece rastgele hatadan kaynaklanır ve hem

KO_{Gruplar}

hem de

KO_{Hata}

aynı kitle varyansını (

\sigma^2

) tahmin eder. Ancak kitle ortalamaları farklıysa (

H_1

KO_{Gruplar}

istatistiği rastgele hataya ek olarak işlem etkisini (faktörün yarattığı varyansı) de barındırır. Bu durumda

KO_{Gruplar}

'ın

KO_{Hata}

'ya oranı 1'den anlamlı düzeyde büyük olur. Bu teorik mekanizma, ortalamalar arası farkın varyanslar oranlanarak test edilmesinin yegane gerekçesidir.

Adım Adım Çözüm

Tek yönlü varyans analizinde (ANOVA) istatistiksel testin merkezini oluşturan sıfır hipotezini (

H_0: \mu_1 = \mu_2 = ... = \mu_k

) tanımlamak.

Araştırmanın amacı bu kitle ortalamalarının eşit olup olmadığını varyanslar üzerinden incelemektir.

Test mantığının neye hizmet ettiğini belirlemek.

H_0

doğru olduğunda (tüm kitle ortalamaları eşitken) varyans kaynaklarının Beklenen Kareler Ortalamalarını (E(KO)) teorik olarak analiz etmek.

H_0

doğruyken, örneklemler arasındaki farklılıklar yalnızca rastgele şansa dayanır. Bu nedenle hem

KO_{Gruplar}

hem de

KO_{Hata}

, aynı kitle varyansını (

\sigma^2

) yansız olarak tahmin eder.

F test istatistiğinin (

F = KO_{Gruplar} / KO_{Hata}

)

H_0

altındayken neden teorik olarak 1 civarında beklendiğini kavramak.

Alternatif hipotez (

H_1

) doğru olduğunda (en az iki kitle ortalaması farklıyken) E(KO) formüllerinin nasıl değiştiğini incelemek.

H_1

doğruyken,

KO_{Hata}

hala kitle varyansını (

\sigma^2

) tahmin ederken;

KO_{Gruplar}

istatistiği rastgele hataya ek olarak gerçek farklılıkların yarattığı ekstra dalgalanmayı (işlem varyansını) da içerir.

Gruplar arası varyansın, gerçek bir etki olduğunda neden hata varyansından daha büyük çıkması gerektiğini ispatlamak.

Elde edilen teorik varyans tahminlerini birbirine oranlayarak ANOVA karar mekanizmasını sentezlemek.

Eğer

F

oranı 1'den istatistiksel olarak anlamlı düzeyde büyükse, bu durum paydaki

KO_{Gruplar}

değerinin sadece rastgele hatayı değil, işlem etkisini de barındırdığını kanıtlar ve

H_0

reddedilir. Bu durum, ANOVA'nın temel mantığıdır.

Ortalamalar arası farkların tespitinin neden doğrudan varyansların oranlanmasına dayandığını açıklamak.

Anahtar Kavram

Varyans Analizinde Beklenen Kareler Ortalamaları (E(MS)) Kuramı

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru