Bir araştırma kapsamında incelenen değişkenin k serbestlik dereceli Ki-kare (\chi^2) dağıl… — KPSS İstatistik

Bir araştırma kapsamında incelenen değişkenin $k$ serbestlik dereceli Ki-kare $(\chi^2)$ dağılımına sahip olduğu bilinmektedir. Bu kitleden alınan $n$ birimlik bağımsız bir rastgele örneklem $(\bar{X}$ örneklem ortalaması olmak üzere $)$ yardımıyla $k^2$ parametresini tahmin etmek amacıyla $T = \bar{X}^2$ tahmin edicisi önerilmiştir. Buna göre, önerilen $T$ tahmin edicisinin yan (bias) miktarı aşağıdakilerden hangisidir?

A
0
B
$\frac{k}{n}$
$\frac{2k}{n}$ Cevap
D
$\frac{2k^2}{n}$
E
$\frac{4k}{n}$

Cevap

Yan miktarı

\frac{2k}{n}

olarak hesaplanır.

Tahmin edicinin beklenen değeri

E(\bar{X}^2) = Var(\bar{X}) + [E(\bar{X})]^2

eşitliğinden

\frac{2k}{n} + k^2

olarak bulunur. Tahmin edilmek istenen hedef parametre

k^2

olduğundan, bu beklenen değerden

k^2

çıkarıldığında geriye kalan

\frac{2k}{n}

ifadesi yan miktarını temsil eder.

Adım Adım Çözüm

Kitlenin temel istatistiklerini belirlemek.

E(X) = k

Var(X) = 2k

k

serbestlik dereceli Ki-kare dağılımının teorik özellikleri gereği beklenen değer serbestlik derecesine, varyans ise bunun iki katına eşittir.

Örneklem ortalamasının beklenen değerini ve varyansını bulmak.

E(\bar{X}) = k

Var(\bar{X}) = \frac{2k}{n}

Bağımsız ve aynı dağılımlı örneklemlerde örneklem ortalamasının beklenen değeri kitle ortalamasına, varyansı ise kitle varyansının örneklem hacmine bölümüne eşittir.

Tahmin edicinin (

T = \bar{X}^2

) beklenen değerini hesaplamak.

E(T) = E(\bar{X}^2) = Var(\bar{X}) + [E(\bar{X})]^2 = \frac{2k}{n} + k^2

Var(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2

temel varyans tanımı kullanılarak ikinci moment hesaplanmıştır.

Yan (bias) miktarını tanımlamak ve hesaplamak.

B(T) = E(T) - k^2 = (\frac{2k}{n} + k^2) - k^2 = \frac{2k}{n}

Yan miktarı, bir tahmin edicinin beklenen değeri ile tahmin edilmek istenen gerçek parametre değeri arasındaki farktır.

Anahtar Kavram

Yan miktarı, bir tahmin edicinin doğruluğunu ölçen temel bir özelliktir ve

E[\hat{\theta}] - \theta

formülüyle hesaplanır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru