Bir ilçe tarım müdürlüğü, belirli bir tarım zararlısının iki görülme vakası arasındaki sür… — KPSS İstatistik

Bir ilçe tarım müdürlüğü, belirli bir tarım zararlısının iki görülme vakası arasındaki süreyi (gün cinsinden) izlemektedir. Bu bekleme sürelerinin,

x > 0

olmak üzere olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x; \theta) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}

olan üstel dağılıma sahip olduğu varsayılmaktadır.

Müdürlük, bu dağılımın varyansını (yani $\theta^2$ parametresini) tahmin etmek amacıyla $n$ hacimli ( $X_1, X_2, \ldots, X_n$ ) bir rastgele örneklem almıştır.

Buna göre, Lehmann-Scheffe teoremi bağlamında $\theta^2$ parametresi için düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edici (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?
(Not: $\bar{X}$ , örneklem ortalamasıdır.)

$\frac{n}{n+1} \bar{X}^2$ Cevap
B
$\bar{X}^2$
C
$\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$
D
$\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n X_i^2$
E
$\frac{n-1}{n} \bar{X}^2$

Cevap

\theta^2

parametresi için yansız olan ve yeterli istatistik

\bar{X}

'e bağlı olan

\frac{n}{n+1} \bar{X}^2

ifadesidir.

Lehmann-Scheffe teoremine göre, tam ve yeterli istatistiğin yansız bir fonksiyonu benzersiz düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edicidir (UMVUE). Üstel dağılımda

\bar{X}

tam ve yeterli bir istatistiktir. Varyans hesabı gereği

E[\bar{X}^2] = \frac{n+1}{n}\theta^2

'dir. Eşitliğin yansız olabilmesi için ifadenin

\frac{n}{n+1}

ile çarpılması gerekir. Böylece elde edilen

\frac{n}{n+1} \bar{X}^2

tahmin edicisi yansızdır ve yeterli istatistiğe bağlı olduğu için UMVUE'dir.

Adım Adım Çözüm

Dağılımın temel özelliklerini ve yeterli istatistiği belirlemek.

E[X_i] = \theta

Var(X_i) = \theta^2

\bar{X}

(veya

\sum X_i

) tam ve yeterli istatistiktir.

Üstel dağılım üstel aileye aittir ve Neyman Çarpanlara Ayırma teoremine göre toplam yeterlidir.

Örneklem ortalamasının özelliklerini kullanarak hedeflenen parametre olan

\theta^2

ile ilişki kurmak.

E[\bar{X}] = \theta

Var(\bar{X}) = \frac{\theta^2}{n}

olarak hesaplanır.

Yeterli istatistiğin bir fonksiyonunu yansız hale getirmemiz gerekmektedir.

\bar{X}^2

'nin beklenen değerini hesaplamak.

E[\bar{X}^2] = Var(\bar{X}) + (E[\bar{X}])^2 = \frac{\theta^2}{n} + \theta^2 = \frac{n+1}{n} \theta^2

bulunur.

Lehmann-Scheffe teoremini uygulayabilmek için yeterli istatistiğin karesel formunun beklenen değerine ihtiyaç vardır.

Tahmin ediciyi yansızlaştırmak ve Lehmann-Scheffe teoremini uygulamak.

Her iki taraf

\frac{n}{n+1}

ile çarpıldığında

E[\frac{n}{n+1} \bar{X}^2] = \theta^2

elde edilir.

Tam ve yeterli istatistiğin yansız bir fonksiyonu bulunduğu için bu ifade eşsiz UMVUE olur.

Anahtar Kavram

Tam ve Yeterli İstatistikler ile Lehmann-Scheffe Teoremi

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru