Ortalaması 0 ve varyansı \sigma^2 > 0 olan normal dağılımdan alınan n birimlik bağımsız ve… — KPSS İstatistik

Ortalaması $0$ ve varyansı $\sigma^2 > 0$ olan normal dağılımdan alınan $n$ birimlik bağımsız ve tesadüfi bir örneklem $X_1, X_2, \dots, X_n$ olsun. $H_0: \sigma^2 \leq \sigma_0^2$ yokluk hipotezine karşı $H_1: \sigma^2 > \sigma_0^2$ alternatif hipotezi test edilmek istenmektedir. Buna göre, bu hipotez testi için $\alpha$ anlamlılık düzeyindeki düzgün en güçlü (UMP) testin kritik bölgesi aşağıdakilerden hangisidir?

$\sum_{i=1}^n X_i^2 > c$ Cevap
B
$\sum_{i=1}^n X_i^2 < c$
C
$\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 > c$
D
$\sum_{i=1}^n X_i > c$
E
$\prod_{i=1}^n X_i > c$

Cevap

Düzgün en güçlü (UMP) testin kritik bölgesi, gözlemlerin kareleri toplamının kritik bir değerden büyük olduğu durumu ifade eden

\sum_{i=1}^n X_i^2 > c

şeklindedir.

Verilen normal dağılım

N(0, \sigma^2)

formunda olup, varyans parametresi

\sigma^2

için yeterli istatistik

\sum X_i^2

olarak bulunur. Bu dağılım, söz konusu istatistik cinsinden Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) özelliğine sahiptir. Karlin-Rubin teoremi gereği, tek yönlü üst alternatif hipotez (

H_1: \sigma^2 > \sigma_0^2

) için UMP testin kritik bölgesi, yeterli istatistiğin büyük değerlerinden oluşur.

Adım Adım Çözüm

Olabilirlik fonksiyonunu yazın.

L(\sigma^2) = (2\pi\sigma^2)^{-n/2} \exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n X_i^2\right)

UMP testi belirlemek için öncelikle örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu olan olabilirlik fonksiyonu belirlenmelidir.

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) özelliğini kontrol edin.

Dağılım

T(X) = \sum X_i^2

istatistiğine göre monoton artan bir olabilirlik oranına sahiptir.

Normal dağılım üstel aileye aittir.

\sigma^2

arttıkça üstel terimdeki katsayı (

-1/2\sigma^2

) arttığı için MLR özelliği sağlanır.

Karlin-Rubin Teoremi'ni uygulayın.

H_1: \sigma^2 > \sigma_0^2

için red bölgesi

T(X) > c

şeklindedir.

Teorem uyarınca, MLR özelliğine sahip bir istatistik için tek yönlü sağ kuyruk hipotezinde UMP test, istatistiğin büyük değerlerinde H0'ı reddeder.

Anahtar Kavram

Karlin-Rubin Teoremi ve Monoton Olabilirlik Oranı (MLR)

İpuçları

Normal dağılımın olabilirlik fonksiyonunda varyans parametresi ile doğrudan ilişkili olan terimi belirleyin.

Karlin-Rubin Teoremi'ni hatırlayın: Eğer dağılım bir

T(X)

istatistiğine göre MLR özelliğine sahipse,

H_1: \theta > \theta_0

için red bölgesi

T(X) > c

olur.

Ortalaması 0 olan normal dağılımda,

\sigma^2

parametresi için yeterli istatistik gözlemlerin kareleri toplamıdır.

Daha Fazla Pratik

Eğer alternatif hipotez çift yönlü (

H_1: \sigma^2 \neq \sigma_0^2

) olsaydı, neden bir UMP test bulunamayacağını tartışın.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Konular

Bu konudan daha fazla soru