Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKukla Değişken Kavramı ve Oluşturulması

Bir araştırmacı, bir ildeki hanehalkı tüketim harcamalarını (YY) analiz ederken, hanehalkı reisinin meslek grubunun etkisini ölçmek istemektedir. Meslek grubu 4 alt kategoriden oluşmaktadır: 1-Memur, 2-İşçi, 3-Esnaf, 4-Diğer.

Araştırmacı, her bir kategori için D1,D2,D3D_1, D_2, D_3 ve D4D_4 olmak üzere 4 adet kukla (gölge) değişken oluşturmuştur (jj. kategori için Dj=1D_j = 1, aksi halde Dj=0D_j = 0). Daha sonra aynı veri setini kullanarak aşağıdaki iki farklı regresyon modelini En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin etmiştir:

Model I: Yi=α1D1i+α2D2i+α3D3i+α4D4i+uiY_i = \alpha_1 D_{1i} + \alpha_2 D_{2i} + \alpha_3 D_{3i} + \alpha_4 D_{4i} + u_i
Model II: Yi=β0+β1D1i+β2D2i+β3D3i+viY_i = \beta_0 + \beta_1 D_{1i} + \beta_2 D_{2i} + \beta_3 D_{3i} + v_i

Bu iki modelin yapısı ve tahmin sonuçları ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. Model I'deki α4\alpha_4 parametresinin EKK tahmini (α^4\hat{\alpha}_4) ile Model II'deki sabit terimin EKK tahmini (β^0\hat{\beta}_0) matematiksel olarak birbirine eşittir.Cevap
  2. B
    Model II'ye D4iD_{4i} kukla değişkeni de eklendiğinde ortaya çıkan tam çoklu doğrusal bağlantı problemi, EKK tahmincilerini hesaplanabilir ancak sapmalı (biased) hale getirir.
  3. C
    Model I'de tüm kategorilere ait kukla değişkenlerin aynı anda modele dahil edilmesi 'kukla değişken tuzağına' yol açmış olup, matris tersinin alınmasını engeller.
  4. D
    Model II'de elde edilen β1\beta_1 katsayısının tahmini değeri, Memur (1. kategori) grubundaki hanehalklarının ortalama tüketim harcamasını doğrudan gösterir.
  5. E
    Model I sabit terim içermediği için Model II'ye kıyasla daha yüksek bir Hata Kareler Toplamına (HKT) sahip olur ve bu iki modelin açıklama gücü R2R^2 ile doğrudan kıyaslanabilir.

Cevap

Model I'deki 4. kategori katsayısı ile Model II'deki sabit terimin tahmini değerleri birbirine eşittir.
Verilen her iki regresyon modeli de matematiksel olarak eşdeğerdir. Sabit terim içermeyen Model I'de (ANOVA formatı), EKK tahmincileri doğrudan ait oldukları kategorilerin bağımlı değişken ortalamalarını verir. Sabit terim içeren Model II'de ise, modele dahil edilmeyen D4D_4 değişkenine ait kategori (Diğer grubu) 'referans kategori' konumundadır. Bu modelde sabit terim olan β^0\hat{\beta}_0, doğrudan referans kategorinin ortalamasına eşittir. Sonuç olarak, her iki modelin yapısı gereği α^4\hat{\alpha}_4 ile β^0\hat{\beta}_0 aynı ortalama değeri ifade ettiği için birbirine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Model I'in (sabit terimsiz model) parametrelerinin anlamını belirle.
Model I'de her bir αj\alpha_j katsayısı, doğrudan ilgili jj. kategorinin ortalama YY değerine eşittir. Yani α^4\hat{\alpha}_4, 4. kategorinin (Diğer) ortalamasıdır.
Sabit terim kullanılmadığında, her bir kukla değişken kendi grubunun mutlak ortalamasını temsil eder.
2
Model II'nin (sabit terimli model) parametrelerinin anlamını belirle.
Model II'de D4D_4 dışarıda bırakıldığı için referans kategori 4. gruptur. Bu modelde sabit terim (β0\beta_0), referans kategorinin ortalama değerine eşittir.
Kukla değişkenlerden biri dışlandığında, sabit terim o dışlanan grubun beklenen değerini yansıtır.
3
İki modelin sonuçlarını karşılaştır.
Her iki modelde de 4. grubun ortalaması hesaplanmaktadır. Model I'de bu değer α^4\hat{\alpha}_4 iken, Model II'de bu değer β^0\hat{\beta}_0'dır. Dolayısıyla α^4=β^0\hat{\alpha}_4 = \hat{\beta}_0 eşitliği kesinlikle sağlanır.
Modeller farklı parametrelendirilmiş olsa da, aynı veri setindeki aynı grupların ortalamalarını ifade ettikleri için matematiksel olarak birbirine denktir.

Anahtar Kavram

Kukla Değişken Parametrelendirmesi ve Referans Kategori
Bu soruyu puanla

Konular

Kukla Değişken Kavramı ve Oluşturulması