Bir belediyenin çevre planlama departmanında görevli bir istatistikçi, ilçelerdeki günlük … — KPSS İstatistik

Bir belediyenin çevre planlama departmanında görevli bir istatistikçi, ilçelerdeki günlük kişi başı su tüketim miktarını ( $Y$ ) tahmin etmek için sosyodemografik ve altyapı değişkenlerini kullanarak iki farklı doğrusal regresyon modeli geliştirmiştir. Modellerin özet istatistikleri aşağıda verilmiştir:

Model	Bağımsız Değişken Sayısı	$R^2$	Düzeltilmiş $R^2$	$AIC$
Model I	6	0.76	0.68	312.8
Model II	2	0.73	0.71	289.4

Analiz sonucunda, Model II'nin tahmin edilen değerlerine ( $\hat{Y}$ ) karşı çizilen standartlaştırılmış artıklar grafiğinde, değerler büyüdükçe artıkların sıfır etrafındaki yayılımının bariz bir huni görünümü aldığı tespit edilmiştir.

Bu bulgulara göre, modellerin karşılaştırılması ve artık analizi ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Düzeltilmiş $R^2$ 'nin yüksek ve $AIC$ değerinin düşük olması sebebiyle Model II tercih edilmelidir; ancak artıklardaki huni görünümü değişen varyans sorunu olduğuna ve standart hataların güvenilirliğini yitirdiğine işaret eder.Cevap
B
Model I'in standart $R^2$ değeri daha yüksek olduğundan tahmin gücü en yüksektir ve artıklardaki huni görünümü, hata terimleri arasında otokorelasyon bulunduğunu kanıtlar.
C
Bağımsız değişken sayısı azaldıkça $AIC$ değerinin düşmesi Model II'nin uyumunun kötüleştiğini gösterir; huni görünümü ise beta katsayılarının yansızlık özelliğini tamamen ortadan kaldırır.
D
Model I, daha fazla bilgi içerdiği ve standart $R^2$ 'si yüksek olduğu için daima daha üstündür; artıklardaki genişleyen varyans ise modelde kesinlikle çoklu doğrusal bağlantı sorunu yaşandığını belirtir.
E
Model II'nin Düzeltilmiş $R^2$ değeri daha yüksek olmasına rağmen, artıklardaki huni şekli hata terimlerinin normal dağılmadığını gösterdiğinden, parametre tahminleri EKK yöntemiyle hesaplanamaz.

Cevap

Modeller değerlendirilirken Düzeltilmiş R-kare'nin daha yüksek ve AIC değerinin daha düşük olması nedeniyle Model II'nin tercih edilmesi gerektiği; artıklardaki huni şeklindeki saçılımın ise değişen varyans (heteroskedastisite) sorununa ve dolayısıyla geçersiz standart hatalara işaret ettiğini belirten seçenektir.

Verilen tabloda Model II'nin değişken sayısı daha az olmasına rağmen Düzeltilmiş R-kare değeri daha yüksek ve AIC değeri daha düşüktür; bu durum istatistiksel olarak daha iyi ve sade bir model olduğunu gösterir. Artıklardaki 'huni' şekli ise değişen varyansın (heteroskedastisite) en tipik grafiksel belirtisidir. Bu sorunun varlığında EKK katsayıları yansızlığını korusa da, standart hataları hesaplanırken kullanılan varsayım çöktüğü için istatistiksel testler ve güven aralıkları güvenilirliğini yitirir.

Adım Adım Çözüm

Model seçim kriterlerinin (

R^2

, Düzeltilmiş

R^2

AIC

) değerlendirilmesi.

Farklı sayıda bağımsız değişken içeren modeller karşılaştırılırken standart

R^2

yerine Düzeltilmiş

R^2

AIC

kriterleri dikkate alınır. Model II'nin Düzeltilmiş

R^2

'si (0.71 > 0.68) daha yüksek ve

AIC

değeri (289.4 < 312.8) daha düşüktür. Bu nedenle Model II tercih edilir.

Standart

R^2

modele eklenen her gereksiz değişkenle bile artma eğilimindedir. Model sadeliğini de cezalandıran Düzeltilmiş

R^2

AIC

, model seçiminde daha doğru metriklerdir.

Artık analizi bulgularının (huni görünümü) yorumlanması.

Tahmin edilen

\hat{Y}

değerleri büyüdükçe artıkların yayılımının genişlemesi (huni şekli), hata terimlerinin varyansının sabit olmadığı anlamına gelir. Bu duruma 'değişen varyans' (heteroskedastisite) adı verilir.

EKK varsayımlarından biri hata terimlerinin varyansının tüm gözlemler için sabit olmasıdır. Grafiksel artık analizi bu varsayımın ihlal edildiğini açıkça göstermektedir.

Değişen varyans sorununun model üzerindeki etkilerinin belirlenmesi.

Değişen varyans varlığında EKK tahmin edicileri yansız (sapmasız) kalmaya devam eder, ancak minimum varyanslı (etkin) olma özelliklerini kaybederler. Standart hatalar yanlış hesaplanacağı için t ve F hipotez testleri güvenilirliğini yitirir.

Varsayım ihlallerinin sonuçlarını bilmek, regresyon modelinin güvenilirliğini değerlendirmek için kritik öneme sahiptir.

Anahtar Kavram

Model seçim kriterleri (Düzeltilmiş R-kare, AIC) ve Artık analizinde değişen varyans tespiti

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru