Bir \Omega örnek uzayında tanımlanan A, B ve C olayları, bir kalite kontrol sürecinde gözl… — KPSS İstatistik

Bir $\Omega$ örnek uzayında tanımlanan $A$ , $B$ ve $C$ olayları, bir kalite kontrol sürecinde gözlemlenen üç farklı donanım hatasını temsil etmektedir. Mevzuat ve fiziksel tasarım kuralları gereği, incelenen bir üründe $A$ ve $B$ hatalarının aynı anda bulunması imkânsızdır ( $A$ ve $B$ ayrık olaylardır).

Bu denetim sürecinde, bir ürünün doğrudan "Ağır Kusurlu" sayılarak imha edilebilmesi için bu üç hatadan tam olarak iki tanesinin üründe aynı anda bulunması gerektiği şart koşulmuştur.

Buna göre, rastgele seçilen bir ürünün "Ağır Kusurlu" sayılması olayını ifade eden küme işleminin en sade matematiksel gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

A
$(A \cap B) \cup C$
B
$(A \cap C) \cap (B \cap C)$
C
$(A^c \cap B^c) \cap C$
$(A \cup B) \cap C$ Cevap
E
$(A \cap B^c) \cup (A^c \cap B)$

Cevap

Ağır kusurlu olma olayı

(A \cup B) \cap C

küme işlemi ile ifade edilir.

Soru metnindeki şartlara göre A ve B hataları aynı anda bulunamamaktadır (

A \cap B = \emptyset

). Bir üründe tam olarak iki hata bulunabilmesi için bu hatalardan birinin kesinlikle C olması, diğerinin ise ya A ya da B olması zorunludur. Matematiksel olarak bu durum, 'A ile C'nin birlikte gerçekleşmesi' veya 'B ile C'nin birlikte gerçekleşmesi' anlamına gelir. Bu mantık

(A \cap C) \cup (B \cap C)

şeklinde ifade edilir. Kümelerde dağılma özelliği dikkate alındığında bu ifadenin en sade ve eşdeğer gösterimi

(A \cup B) \cap C

olur.

Adım Adım Çözüm

Üç olaydan tam olarak ikisinin gerçekleştiği durumu genel küme formülüyle matematiksel olarak ifade etme

(A \cap B \cap C^c) \cup (A \cap C \cap B^c) \cup (B \cap C \cap A^c)

Herhangi üç olay içinden tam olarak ikisinin gerçekleşmesi, o iki olayın gerçekleşip geriye kalan üçüncüsünün gerçekleşmediği üç farklı alternatif durumun birleşimidir.

A

B

olaylarının ayrık olma özelliğini genel formüle uygulama

A \cap B = \emptyset

olduğu için formüldeki birinci terim olan

(A \cap B \cap C^c) = \emptyset

olur.

Ayrık olaylar aynı anda gerçekleşemez. Bu nedenle, içinde

A

B

'nin kesişimini barındıran her küme zorunlu olarak boş kümeye eşittir.

Ayrıklık özelliğinin mantıksal sonuçlarını kullanarak kalan terimleri sadeleştirme

A

gerçekleştiğinde

B

zaten gerçekleşemeyeceği için

(A \cap C \cap B^c) = (A \cap C)

olur. Benzer şekilde

(B \cap C \cap A^c) = (B \cap C)

olur.

A ve B ayrık ise

A \subseteq B^c

B \subseteq A^c

özellikleri geçerlidir. Bu durumda kesişim işlemlerinde

B^c

veya

A^c

yazmak gereksiz bir tekrardır.

Sadeleşmiş olan alternatif durumları tek bir ifadede birleştirme

Geriye kalan durumların birleşimi

(A \cap C) \cup (B \cap C)

halini alır.

Ağır kusur için ya A ile C birlikte görülmeli, ya da B ile C birlikte görülmelidir.

Elde edilen birleşim kümesini ortak paranteze alma (dağılma özelliğinin tersi)

(A \cap C) \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap C

Kümeler teorisindeki dağılma özelliği kuralı kullanılarak, ifade sorunun seçeneklerinde beklenen en sade biçime dönüştürülür.

Anahtar Kavram

Örnek uzayda tanımlı olaylar üzerinde küme işlemleri ve ayrık (mutually exclusive) olayların özellikleri

Alternatif Yöntem

Problemi soyut cebirsel kurallarla çözmek yerine doğrudan bir Venn şeması çizilerek çözüme ulaşılabilir. A ve B olayları ayrık olduğundan, örnek uzay içerisine birbirini kesmeyen iki ayrı çember çizilir. C olayı ise hem A'yı hem de B'yi kesecek şekilde yerleştirilir. Soru 'tam olarak iki olayın' gerçekleşmesini istediğinden, sadece iki kümenin üst üste bindiği bölgeler taranmalıdır. Şemada bu koşulu sağlayan yalnızca iki bölge oluşur: A çemberi ile C'nin kesişimi ve B çemberi ile C'nin kesişimi. Bu taranan iki ayrı alan, A ile B'nin birleşim kümesinin C tarafından kesilen bölgesidir; yani görsel olarak

(A \cup B) \cap C

ifadesi anında tespit edilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru