Fiziksel, biyolojik veya ekonomik sistemlerde zamanla değişen ve belirsizlik içeren dinami… — KPSS İstatistik

Fiziksel, biyolojik veya ekonomik sistemlerde zamanla değişen ve belirsizlik içeren dinamikleri matematiksel olarak ifade etmek için stokastik süreçler teorisinden yararlanılır. Bir sistemin herhangi bir $t$ anındaki durumunu temsil eden rastgele değişkenler ailesi, sürecin temel yapıtaşlarını oluşturur.

Stokastik süreçleri oluşturan bileşenler, süreçlerin sınıflandırılması ve artış karakterleri göz önüne alındığında, aşağıdaki teorik açıklamalardan hangisi doğrudur?

Zaman parametresi kümesi ( $T$ ) sürecin indekslendiği anları, durum uzayı ( $S$ ) ise rastgele değişkenlerin alabileceği tüm olası değerleri belirtir; bu iki kümenin kesikli veya sürekli olmasına göre süreçler (örneğin sürekli zamanlı-kesikli durumlu gibi) dört farklı grupta sınıflandırılırken, sabit bir $\omega$ deney çıktısı için zamana bağlı elde edilen $t \mapsto X(t,\omega)$ atamasına örneklem fonksiyonu veya örneklem yolu adı verilir.Cevap
B
Bir stokastik sürecin bağımsız artışlı (independent increments) olarak tanımlanabilmesi için, örtüşmeyen zaman aralıklarındaki $X(t_2) - X(t_1)$ ve $X(t_3) - X(t_2)$ değişimlerinin ayrık olaylar kümesi oluşturması, yani eşzamanlı kesişimlerinin boş küme olması zorunludur.
C
Zaman parametresi ve durum uzayı sürekli olan standart Kahverengi hareket (Wiener süreci) modelinde, sürecin belirli bir $[t, t+s]$ zaman aralığındaki artış miktarı, sürecin geçmiş $t$ anına kadarki davranışına bağımlı bir yapı sergiler.
D
Sürecin herhangi iki farklı $t_1$ ve $t_2$ anındaki durumları olan $X(t_1)$ ve $X(t_2)$ rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans sıfır ise, sürecin bu anlarda kesinlikle birbirinden bağımsız hareket ettiği söylenir.
E
Sürekli durum uzayına ( $S$ ) sahip sürekli zamanlı bir stokastik süreçte, sürecin belirli bir $t$ anında tam olarak spesifik bir $c$ sabit değerini alma olasılığı olan $P(X(t) = c)$ , o noktadaki olasılık yoğunluk fonksiyonunun değerine eşittir.

Cevap

Zaman parametresi kümesinin indeksleri, durum uzayının alabileceği değerleri belirttiği ve bu kümelerin süreklilik durumuna göre sürecin dört farklı sınıfa ayrılıp, gerçekleşen yörüngeye örneklem fonksiyonu dendiğini ifade eden seçenek doğrudur.

Stokastik süreçler teorisinde, sistemin indekslendiği anlar zaman parametresi kümesi (

T

), sistemin alabileceği değerler ise durum uzayı (

S

) olarak adlandırılır. Bu iki kümenin yapısı (kesikli veya sürekli olmaları), süreçleri dört ana gruba (örn. kesikli zaman-kesikli durum, sürekli zaman-kesikli durum vb.) ayırmamızı sağlar. Ayrıca, rassal bir sürecin doğası gereği, belirli bir deney sonucu (bir

\omega

çıktısı) sabitlendiğinde geriye kalan zamana bağlı fonksiyona sürecin örneklem yolu veya örneklem fonksiyonu denir. Bu açıklama tüm terminolojiyi matematiksel olarak doğru yansıtmaktadır.

Adım Adım Çözüm

Stokastik sürecin temel kavramları olan

S

T

kümelerinin işlevlerini analiz et.

T

(zaman parametresi kümesi) sistemin gözlemlendiği anları,

S

(durum uzayı) ise sistemin alabileceği değerleri gösterir.

Süreçlerin sınıflandırılabilmesi için temel kümelerin fonksiyonlarının doğru bilinmesi gerekir.

Örneklem fonksiyonu (sample function) ve örneklem yolu kavramını tanımla.

Belirli bir olay (

\omega

) gerçekleştiğinde, sürecin zamana göre çizdiği deterministik yörüngeye

X(\cdot, \omega)

örneklem yolu denir.

Rastgele değişken ailesinin tek bir deneme sonrasındaki gerçekleşmesini teorik olarak ayırmak için.

Sürecin artış özelliklerini ve bağımsızlık koşullarını değerlendir.

Bağımsız artışlı süreçlerde artışların olasılıksal olarak bağımsız olduğu teyit edilir; bunun ayrıklık (kesişim boşluğu) olmadığı hatırlanır.

Çeldirici seçeneklerde yer alan bağımsızlık/ayrıklık ve sıfır kovaryans hatalarına düşmemek için.

Anahtar Kavram

Stokastik Süreç Bileşenleri ve Bağımsız Artışlar

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru