Stokastik Süreçler Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Finansal bir varlığın ardışık günlük getirilerini temsil eden $\{Y_n\}_{n \geq 1}$ rastgele değişkenler dizisi, birbirinden bağımsız, aynı dağılımlı ve pozitif değerli olarak tanımlanmıştır. Her bir $n \geq 1$ için $E[Y_n] = 1$ ve $Var(Y_n) > 0$ olduğu bilinmektedir.

Varlığın $n$ . gün sonundaki fiyatı $X_n = \prod_{i=1}^n Y_i$ şeklinde modellenmiş ve ilgili doğal filtrasyon $\mathcal{F}_n = \sigma(Y_1, Y_2, \dots, Y_n)$ olarak oluşturulmuştur.

Buna göre, $Z_n = \sqrt{X_n}$ ile tanımlanan yeni stokastik süreç için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

\{Z_n\}

süreci

\mathcal{F}_n

filtrasyonuna göre bir martingaldir.

\{Z_n\}

süreci

\mathcal{F}_n

filtrasyonuna göre bir alt-martingaldir (submartingale).

\{Z_n\}

süreci

\mathcal{F}_n

filtrasyonuna göre bir süper-martingaldir (supermartingale).

Her

n \geq 1

için

E[Z_n] = 1

'dir.

E[Z_{n+1} | \mathcal{F}_n]

koşullu beklenen değeri, rastgele bir değişken değil sabit bir gerçel sayıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\{Z_n\}$ süreci $\mathcal{F}_n$ filtrasyonuna göre bir süper-martingaldir (supermartingale).

Cevap

\{Z_n\}

süreci

\mathcal{F}_n

filtrasyonuna göre bir süper-martingaldir (supermartingale).

Verilen tanımlara göre sürecin durumunu belirlemek için

\mathcal{F}_n

'e göre koşullu beklenen değer alınmalıdır.

E[Z_{n+1} | \mathcal{F}_n] = E[Z_n \sqrt{Y_{n+1}} | \mathcal{F}_n]

bağıntısında

Z_n

bilindiğinden beklenen değerin dışına çarpan olarak çıkar,

Y_{n+1}

ise

\mathcal{F}_n

'den bağımsız olduğundan koşulsuz beklenen değerine dönüşür:

Z_n E[\sqrt{Y_{n+1}}]

.

f(y) = \sqrt{y}

fonksiyonu kesin konkav (içbükey) bir fonksiyon olduğundan ve

Y_{n+1}

'in varyansı sıfırdan büyük olduğundan, Jensen eşitsizliği gereği

E[\sqrt{Y_{n+1}}] < \sqrt{E[Y_{n+1}]} = \sqrt{1} = 1

olur. Sonuç olarak

E[Z_{n+1} | \mathcal{F}_n] < Z_n

elde edilir. Bu özellik, stokastik sürecin süper-martingal (üst-martingal) olduğunu kesin olarak kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1

Z_{n+1}

ile

Z_n

arasındaki matematiksel ilişkiyi belirle.

Z_{n+1} = \sqrt{X_{n+1}} = \sqrt{X_n \cdot Y_{n+1}} = \sqrt{X_n} \cdot \sqrt{Y_{n+1}} = Z_n \cdot \sqrt{Y_{n+1}}

Sürecin martingal türünü belirlemek için bir sonraki adımın mevcut adımla ilişkisi üzerinden koşullu beklenen değere geçiş yapılmalıdır.

2

Z_{n+1}

'in

\mathcal{F}_n

altındaki koşullu beklenen değerini (

E[Z_{n+1} | \mathcal{F}_n]

) hesapla.

E[Z_n \cdot \sqrt{Y_{n+1}} | \mathcal{F}_n] = Z_n \cdot E[\sqrt{Y_{n+1}} | \mathcal{F}_n] = Z_n \cdot E[\sqrt{Y_{n+1}}]

Z_n

değeri

\mathcal{F}_n

filtrasyonuna göre bilinir ve dışarı sabit olarak çıkar.

Y_{n+1}

ise geçmişten bağımsızdır.

3

E[\sqrt{Y_{n+1}}]

değerini bulmak için Jensen eşitsizliğini uygula.

f(y) = \sqrt{y}

fonksiyonu kesin konkav (içbükey) ve

Var(Y) > 0

olduğundan:

E[\sqrt{Y_{n+1}}] < \sqrt{E[Y_{n+1}]} = \sqrt{1} = 1

Rastgele değişken sabit olmadığı (varyans > 0) ve fonksiyon doğrusal olmadığı için eşitlik değil kesin eşitsizlik durumu geçerlidir.

4

Sonuçları birleştirerek sürecin türüne karar ver.

E[Z_{n+1} | \mathcal{F}_n] = Z_n \cdot E[\sqrt{Y_{n+1}}] < Z_n \cdot 1 = Z_n

Koşullu beklenen değer mevcut değerden küçük (

E[Z_{n+1} | \mathcal{F}_n] \leq Z_n

) çıktığı için süreç tanım gereği süper-martingal (üst-martingal) olur.

Anahtar Kavram

Martingal Özellikleri ve Jensen Eşitsizliği

Soru 2Soru →

Bir devlet hastanesindeki tıbbi görüntüleme cihazının belirli bir parçasının çalışma ömrü (yıl cinsinden), şekil parametresi $\alpha = 2$ ve ölçek parametresi $\theta = 3$ olan Gamma dağılımına uymaktadır. Parça arızalandığında anında yeni bir parça ile değiştirilmektedir ve bu süreç bir yenileme süreci (renewal process) oluşturmaktadır.

$M(t)$ , $(0, t]$ zaman aralığında yapılan parça değişim sayısının beklenen değeri (yenileme fonksiyonu) olmak üzere, Temel Yenileme Teoremi'ne (Elementary Renewal Theorem) göre uzun dönemdeki birim zaman başına ortalama yenileme sayısı, yani $\lim_{t \to \infty} \frac{M(t)}{t}$ limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{6}

6

\frac{2}{3}

\frac{1}{18}

\frac{1}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{6}$

Cevap

Uzun dönemdeki birim zaman başına ortalama yenileme sayısı

\frac{1}{6}

'dır.

Verilen problemde yenileme süreleri Gamma(2, 3) dağılımına sahiptir. Bu dağılımın beklenen değeri

\mu = \alpha \times \theta = 2 \times 3 = 6

yıldır. Temel Yenileme Teoremi'ne göre, uzun vadede birim zamandaki ortalama yenileme sayısı (yenileme hızı), beklenen ardışık yenileme süresinin tersine eşittir. Bu nedenle limit değeri

1/\mu = 1/6

olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Parçanın çalışma ömrünün (gelişler arası sürenin) beklenen değerini hesaplayın.

\mu = E[X] = \alpha \times \theta = 2 \times 3 = 6

yıl.

Yenileme teorisinde, uzun dönem davranışını belirleyen temel faktör bağımsız ve aynı dağılımlı yenileme sürelerinin beklenen değeridir.

2

Temel Yenileme Teoremi'ni (Elementary Renewal Theorem) uygulayın.

\lim_{t \to \infty} \frac{M(t)}{t} = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{6}

.

Teorem, uzun dönemde birim zaman başına ortalama yenileme sayısının (yenileme oranının), bir yenilemenin beklenen süresinin çarpmaya göre tersine eşit olduğunu ifade eder.

Anahtar Kavram

Temel Yenileme Teoremi ve Gamma Dağılımının Beklenen Değeri

Soru 3Soru →

Bir sistem, $S = \{1, 2, 3\}$ durum uzayında tanımlı kesikli zamanlı bir Markov zinciri ile modellenmektedir. Bu zincirin bir adım geçiş olasılıkları matrisi $P$ , bazı elemanları bilinmeyen ( $a, b, c$ ) olarak aşağıda verilmiştir:

P = \begin{bmatrix} 0.2 & a & 0.3 \\ 0.4 & 0.1 & b \\ c & 0.3 & 0.4 \end{bmatrix}

Sistemin $t=0$ anındaki (başlangıç) durum dağılımı vektörü $\pi^{(0)} = [0.6, \ 0.4, \ 0]$ olarak belirlenmiştir.

Buna göre, sistemin 2. adımda ( $t=2$ anında) 3 numaralı durumda olma olasılığı olan $P(X_2 = 3)$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

0.258

0.324

0.380

0.406

0.430

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.406

Cevap

Doğru cevap 0.406'dır.

Markov zincirlerinde geçiş matrisinin her bir satırındaki olasılıkların toplamı 1'dir. Bu kural uygulanarak matristeki bilinmeyenler sırasıyla

a = 1 - (0.2+0.3) = 0.5

,

b = 1 - (0.4+0.1) = 0.5

ve

c = 1 - (0.3+0.4) = 0.3

olarak bulunur.
Sistemin

n

. adımdaki durum dağılımı

\pi^{(n)} = \pi^{(n-1)} \cdot P

formülü ile hesaplanır.
Öncelikle 1. adımdaki dağılım bulunur:

\pi^{(1)} = [0.6, \ 0.4, \ 0] \cdot \begin{bmatrix} 0.2 & 0.5 & 0.3 \\ 0.4 & 0.1 & 0.5 \\ 0.3 & 0.3 & 0.4 \end{bmatrix} = [0.28, \ 0.34, \ 0.38]

Ardından 2. adımda 3 numaralı durumda olma olasılığı,

\pi^{(1)}

vektörü ile matrisin 3. sütunu çarpılarak elde edilir:

P(X_2 = 3) = \pi^{(1)}_1 P_{13} + \pi^{(1)}_2 P_{23} + \pi^{(1)}_3 P_{33} = (0.28 \cdot 0.3) + (0.34 \cdot 0.5) + (0.38 \cdot 0.4) = 0.084 + 0.170 + 0.152 = 0.406

.

Adım Adım Çözüm

1

Geçiş matrisindeki (

P

) eksik elemanları bulma

a = 0.5

,

b = 0.5

,

c = 0.3

Markov zincirlerinde geçiş matrisinin her bir satırındaki olasılıkların toplamı daima 1'e eşit olmak zorundadır.

2

Sistemin 1. adımdaki (

t=1

) durum dağılımını (

\pi^{(1)}

) hesaplama

\pi^{(1)} = [0.28, \ 0.34, \ 0.38]

Birinci adımdaki olasılık dağılımı, başlangıç dağılımı vektörü ile geçiş matrisinin çarpımına eşittir:

\pi^{(1)} = \pi^{(0)} \cdot P

3

Sistemin 2. adımda (

t=2

) 3 numaralı durumda olma olasılığını hesaplama

P(X_2 = 3) = 0.406

İkinci adımdaki dağılım

\pi^{(2)} = \pi^{(1)} \cdot P

işlemiyle bulunur. Bize sadece 3. durum gerektiğinden,

\pi^{(1)}

vektörü ile matrisin 3. sütununun iç çarpımı alınır:

0.28(0.3) + 0.34(0.5) + 0.38(0.4) = 0.406

.

Anahtar Kavram

Kesikli Zamanlı Markov Zincirlerinde Geçiş Matrisi Özellikleri ve n-Adım Olasılıkları

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 4Soru →

$\{X_n\}_{n \geq 1}$ , beklenen değeri $\mu$ ve varyansı $\sigma^2 > 0$ olan bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele değişkenler dizisi olsun.

$S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ şeklinde tanımlanan süreci ve $\mathcal{F}_n = \sigma(X_1, X_2, \dots, X_n)$ doğal filtrasyonunu ele alalım.

Buna göre, $Y_n = S_n^2 - n \sigma^2$ sürecinin $\mathcal{F}_n$ 'ye göre bir martingal olması için $\mu$ değeri aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?

0

1

\sigma

\sigma^2

-\sigma^2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0$

Cevap

\mu

değerinin

0

olması gereklidir.

Martingal tanımına göre

E[Y_{n+1} | \mathcal{F}_n] = Y_n

olmalıdır.

Y_{n+1} = (S_n + X_{n+1})^2 - (n+1)\sigma^2

olduğundan, koşullu beklenti alındığında

Y_n + 2S_n\mu + \mu^2

elde edilir. Bu ifadenin

Y_n

'ye eşit olabilmesi için,

S_n

'in her değeri için

2S_n\mu + \mu^2 = 0

denkleminin sağlanması gerekir; bu da ancak

\mu = 0

olmasıyla mümkündür.

Adım Adım Çözüm

1

E[Y_{n+1} | \mathcal{F}_n]

koşullu beklenen değerini tanım kullanarak yazma

E[S_{n+1}^2 - (n+1)\sigma^2 | \mathcal{F}_n]

elde edilir.

Martingal şartı olan

E[Y_{n+1} | \mathcal{F}_n] = Y_n

eşitliğini test etmek.

2

S_{n+1} = S_n + X_{n+1}

eşitliğini yerine koyup karesini açma

E[S_n^2 + 2S_n X_{n+1} + X_{n+1}^2 | \mathcal{F}_n] - (n+1)\sigma^2

elde edilir.

Bilinen

\mathcal{F}_n

ölçülebilir terimler ile bağımsız gelecek terimleri birbirinden ayırmak.

3

Koşullu beklenen değer özelliklerini (doğrusallık ve bağımsızlık) uygulama

S_n^2 + 2S_n E[X_{n+1}] + E[X_{n+1}^2] - n\sigma^2 - \sigma^2

bulunur.

S_n

'in

\mathcal{F}_n

tarafından bilinmesi ve

X_{n+1}

'in bağımsız olması nedeniyle işlemler sadeleşir.

4

E[X_{n+1}] = \mu

ve

E[X_{n+1}^2] = \sigma^2 + \mu^2

değerlerini yerine koyma

(S_n^2 - n\sigma^2) + 2S_n\mu + \sigma^2 + \mu^2 - \sigma^2 = Y_n + 2S_n\mu + \mu^2

bulunur.

Varyans formülü kullanılarak ikinci momentin beklenen değer ve varyans cinsinden yazılması.

5

Elde edilen ifadeyi

Y_n

'ye eşitleyip

\mu

değerini çözme

Y_n + 2S_n\mu + \mu^2 = Y_n \implies 2S_n\mu + \mu^2 = 0

olmalıdır. Bu ancak

\mu = 0

ise her

S_n

için sağlanır.

Sürecin tüm zaman adımlarında ve durumlarında martingal olma zorunluluğu.

Anahtar Kavram

Bir rassal yürüyüşün karesinden varyans terimi çıkarılarak oluşturulan sürecin martingal olması için gerekli koşul

Soru 5Soru →

Olasılık teorisinde rastgele olayların zaman içindeki evrimini modelleyen yapıya stokastik süreç denir. Bir $\{X(t), t \in T\}$ stokastik sürecinde, $S$ sürecin durum uzayını ve $T$ zaman parametresi kümesini temsil etmektedir.

Bu sürecin temel kavramları, bileşenlerinin yapısı ve sınıflandırılması ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Sürecin bağımsız artışlı olabilmesi için, herhangi

t_1 < t_2

anlarındaki

X(t_1)

ve

X(t_2)

rassal değişkenlerinin her zaman birbirinden bağımsız olması ve bu iki durumun ayrık olaylar olarak tanımlanması zorunludur.

Sürekli zamanlı ve kesikli durumlu bir süreç örneği olan Poisson sürecinde, gelişler arası sürenin (interarrival time) olasılık dağılımı da sürecin tanımı gereği daima Poisson dağılımına uymalıdır.

Sürecin 'sürekli veya kesikli zamanlı' olması

T

kümesinin yapısına, 'sürekli veya kesikli durumlu' olması ise

S

kümesinin yapısına bağlıdır; ayrıca

\Omega

örnek uzayındaki belirli bir

\omega

sonucu sabit tutulduğunda

X(t, \omega)

'nın

t

'ye göre yörüngesine 'örneklem fonksiyonu' adı verilir.

Kesikli zamanlı ve sürekli durumlu bir stokastik süreçte, sürecin bir sonraki adımdaki beklenen değerinin her zaman mevcut durumuna eşit olma koşulu, o sürecin durum uzayı

S

'nin doğası gereği sağlanmak zorundadır.

Sürekli zamanlı ve sürekli durumlu bir süreç olan standart Wiener sürecinde (Kahverengi hareket), örtüşmeyen zaman aralıklarındaki artışlar birbirine bağımlı olup varyansları zamandan bağımsız sabit bir değerdir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Sürecin 'sürekli veya kesikli zamanlı' olması $T$ kümesinin yapısına, 'sürekli veya kesikli durumlu' olması ise $S$ kümesinin yapısına bağlıdır; ayrıca $\Omega$ örnek uzayındaki belirli bir $\omega$ sonucu sabit tutulduğunda $X(t, \omega)$ 'nın $t$ 'ye göre yörüngesine 'örneklem fonksiyonu' adı verilir.

Cevap

Stokastik süreçlerin zaman ve durum sınıflamalarının sırasıyla T ve S kümelerinin yapısına bağlı olduğunu ve sabit bir rassal sonuç için sürecin zamana göre aldığı yörüngenin örneklem fonksiyonu olarak adlandırıldığını belirten ifade doğrudur.

Doğru ifade, stokastik süreçlerin sınıflandırılmasındaki temel mantığı eksiksiz özetlemektedir. Zaman (T) kümesinin sürekli veya kesikli olması sürecin zaman yapısını belirlerken; durum (S) kümesinin aldığı değerler (reel sayılar veya sayılabilir tam sayılar) sürecin durum yapısını belirler. Ayrıca,

\Omega

uzayındaki bir olasılık gerçekleştiğinde (

\omega

sabitlendiğinde), geriye sadece zamana (

t

) bağlı değişen bir fonksiyon kalır ki bu kavrama literatürde 'örneklem fonksiyonu' (sample function) veya 'yörünge' denilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Stokastik süreçlerin temel bileşenleri olan S (Durum Uzayı) ve T (Zaman Parametresi) kümelerinin tanımlarını analiz et.

T kümesinin kesikli/sürekli olmasının sürecin zaman yapısını, S kümesinin kesikli/sürekli olmasının ise durum yapısını belirlediği saptanır.

Sınıflandırma kriterlerinin doğru eşleştirilip eşleştirilmediğini kontrol etmek için.

2

Örneklem fonksiyonu (sample path) kavramının tanımını değerlendir.

Belirli bir

\omega \in \Omega

sabitlendiğinde

X(t, \omega)

ifadesinin

t

'nin bir fonksiyonuna dönüştüğü ve buna örneklem yolu denildiği doğrulanır.

Temel kavram tanımlarının geçerliliğini teyit etmek için.

3

Diğer seçeneklerdeki spesifik süreç özelliklerini ve mantıksal iddiaları kontrol et.

Bağımsız artışlılık tanımında

X(t_1)

ve

X(t_2)

'nin kendilerinin değil aralarındaki farkın bağımsız olduğu; Poisson sürecinde gelişler arası sürenin Poisson değil Üstel dağıldığı; Martingale şartının her sürekli durumlu süreçte zorunlu olmadığı ve Wiener sürecinde artışların bağımsız ve varyansının zamana bağlı olduğu belirlenir.

Çeldiricilerin içerdiği kavram yanılgılarını ortaya çıkarmak için.

4

Tüm analiz sonuçlarını birleştirerek doğru olan seçeneği işaretle.

Sınıflandırma ve örneklem fonksiyonu tanımını eksiksiz veren ifade seçilir.

Sorunun 'doğrudur' şartını sağlamak için.

Anahtar Kavram

Stokastik Süreçlerin Sınıflandırılması ve Temel Kavramları

Soru 6Soru →

Bir sosyal güvenlik kurumu, sigortalıların istihdam durumlarını $S = \{S_1, S_2, S_3\}$ durum uzayına sahip kesikli zamanlı bir Markov zinciri ile modellemektedir:
- $S_1$ : Tam zamanlı çalışan
- $S_2$ : Kısmi zamanlı çalışan
- $S_3$ : İş arayan

Haftalık geçiş olasılık matrisi (

P

) aşağıda verilmiştir:

P = \begin{bmatrix} 0,\!4 & 0,\!4 & 0,\!2 \\ 0,\!3 & 0,\!5 & 0,\!2 \\ 0,\!1 & 0,\!5 & 0,\!4 \end{bmatrix}

Kuruma yeni kayıt olan bir kişinin başlangıçtaki ( $t=0$ ) durum olasılıkları sırasıyla $P(X_0=S_1)=0,\!5$ , $P(X_0=S_2)=0,\!3$ ve $P(X_0=S_3)=0,\!2$ olarak belirlenmiştir.

Buna göre, 2. haftada ( $t=2$ ) $S_2$ durumunda ve 1. haftada ( $t=1$ ) $S_1$ durumunda olduğu bilinen bir kişinin, başlangıçta ( $t=0$ ) da $S_1$ durumunda olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{4}{25}

\frac{1}{5}

\frac{1}{4}

\frac{2}{5}

\frac{20}{31}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{20}{31}$

Cevap

\frac{20}{31}

Doğru yanıt, Markov sürecindeki koşullu bağımsızlık özelliğinin (Markov property) anlaşılmasını gerektirir. Şimdiki durum (

t=1

) bilindiğinde, geçmiş (

t=0

) ile gelecek (

t=2

) koşullu olarak bağımsızdır. Bu nedenle soru aslında

P(X_0=S_1 \mid X_1=S_1)

değerini sormaktadır. Toplam olasılık kuralı ile 1. haftada

S_1

olma olasılığı

0,31

olarak bulunur. Geriye dönük olasılık (Bayes teoremi) uygulandığında

P(X_0=S_1, X_1=S_1)

değeri olan

0,20

, marjinal olasılık olan

0,31

'e bölünür ve

\frac{20}{31}

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

İstenen olasılığı koşullu olasılık formülü ile ifade etme.

P(X_0=S_1 \mid X_1=S_1, X_2=S_2) = \frac{P(X_0=S_1, X_1=S_1, X_2=S_2)}{P(X_1=S_1, X_2=S_2)}

Verilen iki koşulun (

X_1=S_1

ve

X_2=S_2

) bilindiği durumda geçmişteki (

X_0=S_1

) durumun olasılığını bulmak için temel koşullu olasılık kuralı uygulanır.

2

Markov özelliğini kullanarak sadeleştirme yapma.

P(X_0=S_1 \mid X_1=S_1, X_2=S_2) = P(X_0=S_1 \mid X_1=S_1)

Markov zincirlerinde şimdiki zaman (

t=1

) bilindiğinde, geçmiş (

t=0

) ve gelecek (

t=2

) birbirinden koşullu olarak bağımsızdır. Dolayısıyla

t=2

'deki durumun

t=0

olasılığına bir etkisi yoktur.

3

Bayes teoremi ile geriye dönük (backward) olasılık denklemini kurma.

P(X_0=S_1 \mid X_1=S_1) = \frac{P(X_0=S_1) \cdot P(X_1=S_1 \mid X_0=S_1)}{P(X_1=S_1)}

Zamanda geriye doğru bir koşullu olasılık sorulduğu için başlangıç olasılıkları ve ileri geçiş olasılıklarını kullanarak Bayes teoremi uygulanmalıdır.

4

Toplam olasılık kuralı ile

P(X_1=S_1)

paydasını hesaplama.

P(X_1=S_1) = (0,5 \cdot 0,4) + (0,3 \cdot 0,3) + (0,2 \cdot 0,1) = 0,20 + 0,09 + 0,02 = 0,31

1. haftada

S_1

durumunda olma olasılığı, başlangıçtaki tüm olası durumlardan

S_1

'e geçiş olasılıklarının ağırlıklı toplamıdır.

5

Bulunan değerleri Bayes formülünde yerine koyarak sonucu elde etme.

\frac{0,5 \cdot 0,4}{0,31} = \frac{0,20}{0,31} = \frac{20}{31}

Pay kısmına

X_0=S_1

ve

X_1=S_1

durumlarının ortak olasılığı, paydaya ise koşul olan

X_1=S_1

olasılığı yazılarak nihai orana ulaşılır.

Anahtar Kavram

Markov Özelliği (Koşullu Bağımsızlık) ve Bayes Teoremi

Alternatif Yöntem

Öğrenciler Markov özelliğini (şartlı bağımsızlık) pratik olarak uygulamak yerine Bayes kuralını tam açarak da aynı sonuca ulaşabilir:

P(X_0=S_1 \mid X_1=S_1, X_2=S_2) = \frac{P(X_0=S_1) \cdot P_{11} \cdot P_{12}}{P(X_1=S_1) \cdot P_{12}}

. Bu durumda pay

0,5 \times 0,4 \times 0,4 = 0,08

ve payda

0,31 \times 0,4 = 0,124

olur.

P_{12}

olan

0,4

çarpanı her iki taraftan sadeleştiğinde sonuç değişmeden

\frac{0,08}{0,124} = \frac{20}{31}

çıkar.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 7Soru →

Bir $\{X(t), t \in T\}$ stokastik süreci; $\Omega$ örnek uzayındaki sonuçları ( $\omega$ ) zamanın bir fonksiyonu olarak modelleyen rastgele değişkenler ailesidir. Sürecin yapısı, zaman parametresi kümesi ( $T$ ) ve alabileceği değerleri gösteren durum uzayının ( $S$ ) özelliklerine göre sınıflandırılmaktadır.

Buna göre, stokastik süreçlerin temel kavramları ve özellikleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Stokastik süreçlerde zaman parametresi kümesi (

T

) ve durum uzayı (

S

) birbirinden bağımsız olarak kesikli veya sürekli olarak sınıflandırılabilir; örneğin sürekli zamanlı-kesikli durumlu veya kesikli zamanlı-sürekli durumlu modeller tanımlanabilir. Ayrıca, belirli bir

\omega \in \Omega

için sürecin zaman içinde çizdiği

X(t, \omega)

fonksiyonuna sürecin 'örneklem yolu' (sample path) veya 'örneklem fonksiyonu' adı verilir.

Sürecin 'bağımsız artışlı' (independent increments) bir yapıya sahip olabilmesi için, kesişmeyen zaman aralıklarındaki durum değişimlerinin (örneğin

X(t_2) - X(t_1)

ve

X(t_4) - X(t_3)

) olasılık uzayında zorunlu olarak ayrık (kesişimi boş küme olan) olaylar tanımlaması şarttır.

Standart bir Wiener süreci (Brownian hareket) incelendiğinde, kesişmeyen zaman aralıklarındaki

X(t) - X(s)

artışları birbirine tam bağımlı olup, bu artışların varyansı geçen süreden (

t-s

) bağımsız olarak her durumda sabit ve

1

'e eşittir.

Süreç bir Poisson süreci olarak modellendiğinde, belirli bir zaman dilimine kadar gerçekleşen toplam olay sayısı Poisson dağılımı gösterirken; ardışık iki olay arasında geçen bekleme süresi (interarrival time) de aynı parametreye sahip kesikli bir Poisson dağılımına uymak zorundadır.

Sürecin bir 'Martingale' dizisi özelliği taşıyabilmesi için, geçmiş tüm durumlar bilindiğinde sürecin gelecekteki bir anı için hesaplanan koşullu beklenen değerinin daima mutlak sıfıra eşit olması, yani

E[X(t_{n+1}) \mid X(t_1), \dots, X(t_n)] = 0

eşitliğinin sağlanması gerekir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Stokastik süreçlerde zaman parametresi kümesi ( $T$ ) ve durum uzayı ( $S$ ) birbirinden bağımsız olarak kesikli veya sürekli olarak sınıflandırılabilir; örneğin sürekli zamanlı-kesikli durumlu veya kesikli zamanlı-sürekli durumlu modeller tanımlanabilir. Ayrıca, belirli bir $\omega \in \Omega$ için sürecin zaman içinde çizdiği $X(t, \omega)$ fonksiyonuna sürecin 'örneklem yolu' (sample path) veya 'örneklem fonksiyonu' adı verilir.

Cevap

Zaman parametresi kümesi (

T

) ile durum uzayının (

S

) birbirinden bağımsız olarak sınıflandırılabileceğini (örneğin sürekli zamanlı-kesikli durumlu modeller) ve belirli bir

\omega

sonucu için tanımlanan zaman fonksiyonuna 'örneklem yolu' veya 'örneklem fonksiyonu' dendiğini belirten ifade doğrudur.

Verilen doğru ifade, stokastik bir sürecin temel mimarisini eksiksiz özetler. Zaman parametresi (

T

) sürecin ilerlediği endeksi, durum uzayı (

S

) ise alabileceği değerleri gösterir ve bu ikisi rastgele kombinasyonlarla modellenebilir (Örn: Sürekli zamanlı kesikli durumlu modeller mümkündür). Ayrıca

X(t, \omega)

ifadesinde

\omega

sabitlenirse, zamanın deterministik bir fonksiyonu elde edilir ve buna stokastik teoride 'örneklem yolu' (sample path) veya 'örneklem fonksiyonu' adı verilir.

Adım Adım Çözüm

1

Stokastik süreçlerin temel bileşenleri olan zaman parametresi kümesi (T) ve durum uzayı (S) kavramlarının yapılarını inceleyin.

T ve S kümelerinin sürekli veya kesikli olma durumları birbirinden bağımsızdır. Sürekli zamanlı-kesikli durumlu (Poisson süreci) veya kesikli zamanlı-sürekli durumlu (Rassal yürüyüşün bazı türevleri) kombinasyonlar mevcuttur.

Sürecin sınıflandırılması doğrudan T ve S kümelerinin topolojik doğasına dayanır.

2

Örneklem fonksiyonu ve bağımsız artış kavramlarının tanımlarını değerlendirin.

Örneklem fonksiyonu, rastgele bir deneyin sonucu (

\omega

) sabit tutulduğunda sürecin zaman içindeki deterministik yoludur. Bağımsız artışlar ise aralıkların ayrık (mutually exclusive) olmasını değil, olasılıksal olarak bağımsız olmasını ifade eder.

Teorik çerçevede olayların bağımsızlığı ile kümelerin ayrıklığı sıkça karıştırılan tamamen farklı iki olasılık aksiyomudur.

3

Özel stokastik süreç türlerinin (Wiener, Poisson, Martingale) varsayımlarını test edin.

Wiener sürecinde artışlar bağımsızdır ve varyans

t-s

'ye eşittir. Poisson sürecinde gelişler arası bekleme süresi Üstel dağılır. Martingale sürecinde beklenen değer

X(t_n)

'dir.

Seçeneklerdeki özel süreçler için verilen çeldirici ifadelerin süreçlerin aksiyomatik tanımlarına aykırı olduğu kanıtlanmıştır.

Anahtar Kavram

Stokastik Süreç Bileşenleri, Durum Uzayı ve Örneklem Yolu

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 8Soru →

Bir kumarbazın başlangıçta 2 TL'si vardır. Kumarbaz her adımda birbirinden bağımsız olarak $p = 0,4$ olasılıkla 1 TL kazanmakta ve $q = 0,6$ olasılıkla 1 TL kaybetmektedir.

Oyun, kumarbazın parası 4 TL'ye ulaştığında (hedefe varma) veya 0 TL'ye düştüğünde (iflas) sona ermektedir.

Buna göre, kumarbazın iflas etmeden önce 4 TL'ye ulaşma olasılığı kaçtır?

\frac{9}{13}

\frac{1}{2}

\frac{4}{9}

\frac{4}{13}

\frac{4}{25}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{4}{13}$

Cevap

Kumarbazın 4 TL'ye ulaşma olasılığı

\frac{4}{13}

olarak hesaplanır.

Kumarbazın iflası (Gambler's Ruin) probleminde asimetrik rassal yürüyüş söz konusudur. Sınır koşulları

P_0=0

ve

P_4=1

kullanılarak kurulan

P_i = 0,4P_{i+1} + 0,6P_{i-1}

lineer denklem sistemi çözüldüğünde

P_2 = 4/13

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Durum uzayını ve geçiş olasılıklarını tanımlama

Başlangıç durumu

i=2

, hedef

M=4

, iflas

0

. Kazanma olasılığı

p=0,4

, kaybetme olasılığı

q=0,6

.

Problemi bir rassal yürüyüş (kumarbazın iflası) modeli olarak ifade etmek için.

2

P_i

yutulma olasılıkları için fark denklemini kurma

Her

i

durumu için

P_i = p P_{i+1} + q P_{i-1}

denklemi elde edilir. Sınır koşulları:

P_0 = 0

ve

P_4 = 1

.

Herhangi bir

i

durumundan hedefe ulaşma olasılığının, bir sonraki adımdaki olası durumlara bağlı koşullu olasılıkların toplamı olması.

3

i=1, 2, 3

için geçiş denklemlerini yazma

P_1 = 0,4 P_2 + 0,6(0) = 0,4 P_2

P_2 = 0,4 P_3 + 0,6 P_1

P_3 = 0,4(1) + 0,6 P_2 = 0,4 + 0,6 P_2

Bilinmeyen

P_2

'yi bulabilmek amacıyla çözülebilir bir denklem sistemi oluşturmak.

4

Denklem sistemini çözerek

P_2

'yi hesaplama

P_1

ve

P_3

'ü

P_2

denkleminde yerine koyarsak:

P_2 = 0,4(0,4 + 0,6 P_2) + 0,6(0,4 P_2) = 0,16 + 0,48 P_2

. Buradan

0,52 P_2 = 0,16

ve

P_2 = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}

bulunur.

Başlangıçtaki parası 2 TL olan kumarbazın hedefe ulaşma olasılığını matematiksel olarak bulmak.

Anahtar Kavram

Rassal Yürüyüşte Yutulma Olasılıkları (Gambler's Ruin / Kumarbazın İflası)

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak Kumarbazın İflası (Gambler's Ruin) genel formülü kullanılabilir:

p \neq q

için hedefe ulaşma olasılığı

P_i = \frac{1 - (q/p)^i}{1 - (q/p)^M}

şeklindedir. Burada

i=2

,

M=4

,

p=0,4

ve

q=0,6

değerleri yerine konulduğunda:

P_2 = \frac{1 - (1,5)^2}{1 - (1,5)^4} = \frac{1 - 2,25}{1 - 5,0625} = \frac{-1,25}{-4,0625} = \frac{4}{13}

elde edilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 9Soru →

$\{W(t), t \geq 0\}$ standart bir Wiener süreci (Kahverengi hareket) olmak üzere,

X = 2W(1) - W(2) + W(4)

rastgele değişkeni tanımlanıyor.

Buna göre, $X$ değişkeninin varyansı, $Var(X)$ , aşağıdakilerden hangisidir?

4

6

8

10

14

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $6$

Cevap

İstenen varyans değeri

6

'dır.

Doğru değer

6

'dır. Soru iki farklı yöntemle çözülebilir. Birinci yöntem, süreci bağımsız artışlar cinsinden yazmaktır:

X

ifadesi

X = 2W(1) + (W(4)-W(2))

biçiminde sadeleşir.

W(1)

ile

(W(4)-W(2))

kesişmeyen zaman aralıklarında olduğu için bağımsızdır. Buradan

Var(X) = 4Var(W(1)) + Var(W(4)-W(2)) = 4(1) + 2 = 6

elde edilir. İkinci yöntem ise doğrudan kovaryans formülünü kullanmaktır:

Var(X) = 4Var(W(1)) + Var(W(2)) + Var(W(4)) - 4Cov(W(1),W(2)) + 4Cov(W(1),W(4)) - 2Cov(W(2),W(4))

. Değerler yerine konduğunda

4(1) + 2 + 4 - 4(1) + 4(1) - 2(2) = 10 - 4 = 6

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

X

değişkenini kesişmeyen zaman aralıklarındaki artışlar cinsinden ifade etme.

X = 2W(1) - [W(1) + (W(2)-W(1))] + [W(2) + (W(4)-W(2))]

Standart Wiener sürecinde, kesişmeyen zaman aralıklarındaki artışlar bağımsızdır. Değişkeni bu artışlar cinsinden yazmak, varyans hesabında kovaryans terimleriyle uğraşmayı ortadan kaldırır.

2

Elde edilen matematiksel ifadeyi sadeleştirme.

X = 2W(1) + (W(4)-W(2))

Toplama ve çıkarma işlemleri yapıldığında, ortadaki terimler birbirini götürür ve sadece iki bağımsız parça kalır.

3

Bağımsız bileşenlerin varyanslarını ayrı ayrı belirleme.

Var(W(1)) = 1

ve

Var(W(4)-W(2)) = 4 - 2 = 2

Standart Wiener sürecinin temel özelliğine göre

Var(W(t)-W(s)) = t - s

'dir.

4

Bağımsız parçaların varyanslarını birleştirerek toplam varyansı hesaplama.

Var(X) = 2^2 \cdot Var(W(1)) + Var(W(4)-W(2)) = 4(1) + 2 = 6

Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının varyansı, varyanslarının toplamıdır ve

Var(aY) = a^2 Var(Y)

kuralı geçerlidir.

Anahtar Kavram

Wiener sürecinde bağımsız artışlar ve kovaryans yapısı

Alternatif Yöntem

Süreci kovaryans formülüyle açmak:

Var(\sum a_i W(t_i)) = \sum a_i^2 t_i + 2 \sum_{i<j} a_i a_j \min(t_i, t_j)

genel formülü kullanılarak tüm ikili eşleşmelerin kovaryansları toplanabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 10Soru →

$\{W(t), t \geq 0\}$ standart bir Wiener süreci (Kahverengi hareket) olmak üzere,

Y(t) = e^{-t} W(e^{2t})

dönüşümü ile yeni bir $\{Y(t), t \geq 0\}$ stokastik süreci tanımlanıyor.

Buna göre, $0 < s < t$ olmak üzere, $Y(s)$ ile $Y(t)$ arasındaki kovaryans, yani $Cov(Y(s), Y(t))$ değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?

e^{-(t-s)}

e^{t-s}

0

e^{-2t}

e^{-(t+s)}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $e^{-(t-s)}$

Cevap

e^{-(t-s)}

değeri kovaryansı doğru şekilde ifade etmektedir.

Verilen

Y(t) = e^{-t} W(e^{2t})

süreci aslında matematikte çok iyi bilinen Ornstein-Uhlenbeck sürecidir. Standart Wiener süreci için

Cov(W(u), W(v)) = \min(u,v)

kuralı geçerlidir. Verilen dönüşümde sabitler kovaryansın dışına çarpım olarak alındığında

e^{-s} e^{-t} Cov(W(e^{2s}), W(e^{2t}))

ifadesi elde edilir. Soru kökünde

s < t

olduğu belirtildiği için

e^{2s} < e^{2t}

eşitsizliği kurulur ve minimum değer

e^{2s}

olarak belirlenir. Sonuç olarak katsayılar ile çarpıldığında

e^{-s-t} \cdot e^{2s} = e^{s-t} = e^{-(t-s)}

değeri bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Cov(Y(s), Y(t))

ifadesini tanımlanan

Y(t)

fonksiyonu üzerinden açıkça yazın.

Cov(e^{-s} W(e^{2s}), e^{-t} W(e^{2t}))

Kovaryansın hesaplanabilmesi için değişkenlerin temel Wiener süreci cinsinden ifade edilmesi gerekir.

2

Kovaryansın doğrusal özelliğini kullanarak deterministik (sabit) çarpanları dışarı alın.

e^{-s} e^{-t} Cov(W(e^{2s}), W(e^{2t}))

Cov(aX, bY) = ab \cdot Cov(X, Y)

kuralı gereği sabit fonksiyonlar dışarı çarpım olarak çıkar.

3

Standart Wiener süreci için geçerli olan kovaryans kuralını (

Cov(W(u), W(v)) = \min(u, v)

) uygulayın.

e^{-(s+t)} \min(e^{2s}, e^{2t})

Wiener sürecinde farklı zamanlardaki değerlerin kovaryansı, bu zamanlardan küçük olanına eşittir.

4

Verilen

0 < s < t

eşitsizliğini kullanarak minimum değeri belirleyin.

s < t \implies 2s < 2t \implies e^{2s} < e^{2t}

olduğundan,

\min(e^{2s}, e^{2t}) = e^{2s}

elde edilir.

Üstel fonksiyon monoton artan bir fonksiyon olduğu için zaman sıralaması korunur.

5

Bulunan minimum değeri denkleme yerleştirip üslü ifadelerde sadeleştirme yapın.

e^{-s-t} \cdot e^{2s} = e^{-s - t + 2s} = e^{s - t} = e^{-(t-s)}

Nihai kovaryans fonksiyonunu en sade biçimine getirmek için tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılır.

Anahtar Kavram

Wiener Süreci Kovaryans Yapısı ve Dönüşümleri

Alternatif Yöntem

Oluşturulan

Y(t) = e^{-t} W(e^{2t})

süreci literatürde standart Ornstein-Uhlenbeck süreci olarak bilinir. Bu sürecin en temel özelliklerinden biri durağan (stationary) olmasıdır ve otokovaryans fonksiyonu yalnızca aradaki zaman farkına (

\tau = t-s

) bağlı olup

R(\tau) = e^{-|\tau|}

formülü ile verilir. Teorik bilgiyi doğrudan hatırlayarak işlem yapmadan doğru sonuca ulaşmak mümkündür.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 11Soru →

Bir risk analizi modelinde, bir finansal göstergenin değeri her işlem gününün sonunda birbirinden bağımsız olarak $p = \frac{1}{3}$ olasılıkla $1$ birim artmakta, $q = \frac{2}{3}$ olasılıkla $1$ birim azalmaktadır. Göstergenin bugünkü değeri $1$ birimdir. Gösterge değeri $0$ birime düştüğünde sistem alarm vermekte, $4$ birime ulaştığında ise hedef seviyeye ulaşıldığı kabul edilmektedir. İki durumda da izleme süreci sona ermektedir.

Buna göre, bu finansal göstergenin sistem alarm vermeden önce hedef seviyeye ulaşma olasılığı kaçtır?

\frac{8}{15}

\frac{1}{4}

\frac{1}{15}

\frac{14}{15}

\frac{1}{27}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{15}$

Cevap

Finansal göstergenin alarm vermeden önce hedef seviyeye ulaşma olasılığı

\frac{1}{15}

'tir.

Asimetrik rassal yürüyüş modelinde

i

noktasından başlayıp

0

'dan önce

N

noktasına ulaşma olasılığı

P_i = \frac{1 - (q/p)^i}{1 - (q/p)^N}

formülü ile bulunur. Verilen problemde başlangıç durumu

i=1

, üst sınır

N=4

,

p=1/3

ve

q=2/3

olarak verilmiştir. Geçiş oranı

r = q/p = (2/3)/(1/3) = 2

olur. Formülde yerine yazıldığında

P_1 = \frac{1 - 2^1}{1 - 2^4} = \frac{-1}{-15} = \frac{1}{15}

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Problemi asimetrik rassal yürüyüş (kumarbazın iflası) modeli olarak parametrelerine ayırın.

Başlangıç durumu

i=1

, alt yutan durum

0

, üst yutan durum

N=4

, sağa gitme (artma) olasılığı

p=1/3

, sola gitme (azalma) olasılığı

q=2/3

.

Sürecin sınır ve geçiş parametrelerinin doğru tanımlanması, uygun olasılık formülünün seçilmesi için gereklidir.

2

Asimetrik yürüyüş için oran parametresi olan

r = q/p

değerini hesaplayın.

r = \frac{2/3}{1/3} = 2

Durumlar arası geçiş asimetrisini modele yansıtmak için q/p oranı kullanılır.

3

Alt yutan durumdan (0) önce üst yutan duruma (N) ulaşma olasılığı formülünü uygulayın.

P_1 = \frac{1 - r^i}{1 - r^N} = \frac{1 - 2^1}{1 - 2^4}

Bu formül, iki yutan durumu olan asimetrik rassal yürüyüşlerde üst sınıra daha önce ulaşma olasılığını verir.

4

Matematiksel işlemi sonuçlandırın.

P_1 = \frac{1 - 2}{1 - 16} = \frac{-1}{-15} = \frac{1}{15}

Kesirli ifadelerin sadeleştirilmesiyle nihai hedef olasılığı elde edilir.

Anahtar Kavram

Asimetrik Rassal Yürüyüş (Gambler's Ruin)

Soru 12Soru →

Bir kamu yatırım projesinin ilerleyişi, haftalık periyotlarla değerlendirilmekte ve üç farklı aşamadan birinde olduğu raporlanmaktadır: Ön Hazırlık ( $H$ ), İhale Süreci ( $I$ ) ve Sözleşme/Denetim ( $S$ ).

Sürecin halden hale geçişleri, durum uzayı $\{H, I, S\}$ olan kesikli zamanlı homojen bir Markov zinciri ile modellenmiştir. Haftalık geçiş olasılıkları matrisi ( $P$ ) aşağıda verilmiştir:

P = \begin{bmatrix} 0.2 & 0.8 & 0 \\ 0 & x & y \\ 0.5 & 0 & 0.5 \end{bmatrix}

Başlangıçta ( $t=0$ ) Ön Hazırlık ( $H$ ) aşamasında olan bir projenin, tam 3 hafta sonra ( $t=3$ ) Sözleşme/Denetim ( $S$ ) aşamasında olma olasılığının $0.416$ olduğu bilinmektedir.

Buna göre, İhale Sürecinde ( $I$ ) bulunan bir projenin bir sonraki hafta Sözleşme/Denetim ( $S$ ) aşamasına geçme olasılığı ( $y$ ) kaçtır?

0.3

0.4

0.5

0.6

0.8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.4

Cevap

0.4

Verilen geçiş matrisinde satır toplamlarının 1 olması zorunluluğundan 2. satır için

x + y = 1

olduğu görülür. H aşamasından başlayıp 3 adımda S aşamasına ulaşan olasılığı sıfırdan farklı üç ayrı yol mevcuttur: (

H \to H \to I \to S

), (

H \to I \to I \to S

) ve (

H \to I \to S \to S

). Bu yolların olasılıkları sırasıyla

0.16y

,

0.8xy

ve

0.4y

'dir. Toplam olasılık

0.56y + 0.8xy = 0.416

olarak verildiğinden,

x

yerine

1-y

konularak denklem çözüldüğünde

0.8y^2 - 1.36y + 0.416 = 0

kuadratik denklemi elde edilir. Denklemin kökleri

1.3

ve

0.4

'tür. Olasılık değeri

[0,1]

aralığında olması gerektiğinden doğru değer

0.4

'tür.

Adım Adım Çözüm

1

Geçiş matrisindeki satır toplamları kuralını uygulama.

2. satır için:

0 + x + y = 1 \implies x = 1 - y

denklemi elde edilir.

Markov zincirlerinde herhangi bir durumdan diğer durumlara geçiş olasılıklarının toplamı her zaman 1'e eşit olmalıdır.

2

H'den S'ye 3 adımlı tüm olası yolları belirleme.

Sıfırdan büyük olasılıklı üç yol vardır: 1)

H \to H \to I \to S

, 2)

H \to I \to I \to S

, 3)

H \to I \to S \to S

.

Olasılığı 0 olan geçişler (

H \to S

ve

I \to H

) elenerek, 3 haftalık sürede gerçekleşebilecek zincirler bulunur.

3

Her bir yolun olasılığını hesaplama.

1. yol:

0.2 \times 0.8 \times y = 0.16y

2. yol:

0.8 \times x \times y = 0.8xy

3. yol:

0.8 \times y \times 0.5 = 0.4y

Kesikli zamanlı Markov zincirinde ardışık adımların birleşik olasılığı, geçiş olasılıklarının çarpımına eşittir.

4

Bulunan olasılıkları toplayıp verilen

0.416

değerine eşitleme.

Toplam olasılık:

0.16y + 0.8xy + 0.4y = 0.56y + 0.8xy = 0.416

3. adımda S'de olma olayının toplam olasılığı, tüm birbirinden ayrık yolların olasılıklarının toplamıdır (Chapman-Kolmogorov eşitliği).

5

Denklemde

x

yerine

1-y

koyarak 2. dereceden denklemi çözme.

0.56y + 0.8(1-y)y = 0.416 \implies 1.36y - 0.8y^2 = 0.416 \implies 100y^2 - 170y + 52 = 0

. Kökler

y_1 = 1.3

ve

y_2 = 0.4

olarak bulunur. Olasılık 1'den büyük olamayacağı için

y = 0.4

alınır.

Bilinmeyen sayısını teke düşürmek ve olasılık aksiyomlarına (

0 \leq y \leq 1

) uygun geçerli kökü belirlemek için.

Anahtar Kavram

Kesikli Zamanlı Markov Zincirlerinde n-Adımlı Geçiş Olasılıkları ve Chapman-Kolmogorov

Alternatif Yöntem

P^3

matrisini doğrudan sembolik olarak çarparak bulmak da mümkündür.

P^2 = P \times P

yapılarak ve ardından

P^3 = P^2 \times P

matris çarpımı ile 1. satır 3. sütun elemanı elde edilip 0.416'ya eşitlenebilir. Matris çarpımı da doğrudan yol analizindeki denklemin (

1.36y - 0.8y^2

) aynısını verecektir.

Soru 13Soru →

Bir hastalık modellemesinde, enfekte olan her bir bireyin belirli bir zaman diliminde bulaştırdığı yeni kişi sayısı bir Galton-Watson dallanma süreci ile modellenmektedir. Aşağıdaki tabloda her bir bireyin bir sonraki nesilde hastalığı bulaştırdığı kişi sayısına ( $Y$ ) ait olasılık dağılımı verilmiştir:

$Y$ (Bulaştırılan Kişi Sayısı)	$P(Y)$ (Olasılık)
0	$0,4$
1	$0$
2	$0,2$
3	$0,4$

Salgın başlangıçta $X_0 = 2$ enfekte birey ile başlamıştır. $X_n$ , $n$ . nesildeki (adımda) enfekte olan kişi sayısını göstermek üzere;

I. Bu salgının eninde sonunda tamamen sönümlenme (neslinin tükenme) olasılığı nedir?
II. İkinci nesilde beklenen enfekte kişi sayısı ( $E[X_2]$ ) kaçtır?

Yukarıdaki soruların cevapları sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

\frac{1}{4}

ve

5,12

\frac{1}{2}

ve

5,12

1

ve

5,12

\frac{1}{4}

ve

2,56

\frac{1}{2}

ve

3,20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{4}$ ve $5,12$

Cevap

Sönüm olasılığının

\frac{1}{4}

ve ikinci nesildeki beklenen enfekte kişi sayısının

5,12

olarak verildiği seçenektir.

Ortalama yavru sayısı

\mu = 1,6

olduğundan süreç süperkritiktir ve eninde sonunda neslin tükenme ihtimali kesin (1) değildir. Tek bir bireyin sönüm olasılığı

G(s) = s \implies 0,4 + 0,2s^2 + 0,4s^3 = s

denkleminin çözümünden

\pi = \frac{1}{2}

bulunur. Salgın 2 bağımsız bireyle başladığı için toplam sönümlenme olasılığı

(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}

olur. İkinci adımdaki beklenen sayı ise

E[X_2] = X_0 \cdot \mu^2 = 2 \cdot (1,6)^2 = 5,12

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci nesil için beklenen bulaştırma sayısını (

\mu

) hesaplayın.

\mu = E[Y] = 0 \cdot 0,4 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0,2 + 3 \cdot 0,4 = 0 + 0 + 0,4 + 1,2 = 1,6

Sürecin kritik, altkritik veya süperkritik olduğunu belirlemek ve ilerleyen nesillerin beklenen değerini bulmak için

\mu

değerine ihtiyaç vardır.

\mu = 1,6 > 1

olduğundan süreç süperkritiktir.

2

İkinci nesilde beklenen enfekte kişi sayısını (

E[X_2]

) hesaplayın.

E[X_n] = X_0 \cdot \mu^n \implies E[X_2] = 2 \cdot (1,6)^2 = 2 \cdot 2,56 = 5,12

Dallanma süreçlerinde başlangıçtaki bağımsız

X_0

adet bireyin her birinin kendi soy çizgisi vardır. Toplam beklenen değer

X_0

ile nesil bazlı büyüme oranının (

\mu^n

) çarpımına eşittir.

3

Yavru dağılımı için olasılık üreten fonksiyonu (Probability Generating Function - PGF) oluşturun.

G(s) = \sum_{y=0}^{3} P(Y=y)s^y = 0,4 \cdot s^0 + 0 \cdot s^1 + 0,2 \cdot s^2 + 0,4 \cdot s^3 = 0,4 + 0,2s^2 + 0,4s^3

Bir bireyin soyunun tamamen tükenme olasılığını (

\pi

) bulabilmek için PGF denklemini kurmak gereklidir.

4

G(s) = s

denkleminin

[0, 1)

aralığındaki kökünü (

\pi

) bularak tek bir bireyin sönüm olasılığını hesaplayın.

0,4s^3 + 0,2s^2 - s + 0,4 = 0

(her tarafı 5 ile çarpalım)

\implies 2s^3 + s^2 - 5s + 2 = 0

.

s=1

bariz bir köktür. Polinom bölmesi

(s-1)(2s^2 + 3s - 2) = 0

sonucunu verir. Kökler:

1, 0,5, -2

. En küçük negatif olmayan kök

\pi = 0,5

(yani

\frac{1}{2}

) olarak bulunur.

Teoriye göre

\mu > 1

(süperkritik) olduğunda, sönüm olasılığı

G(s)=s

eşitliğini sağlayan

[0, 1)

aralığındaki eşsiz çözümdür.

5

Tüm sürecin (salgının) tamamen sönümlenme olasılığını hesaplayın.

P(\text{Sönüm}) = \pi^{X_0} = (0,5)^2 = 0,25 = \frac{1}{4}

Sürecin tamamen yok olması için başlangıçtaki tüm bağımsız kolların (burada 2 adet) sönümlenmesi gerekir. Olaylar bağımsız olduğundan olasılıklar çarpılır.

Anahtar Kavram

Dallanma Süreçlerinde Sönüm Olasılığı ve Olasılık Üreten Fonksiyonlar

Alternatif Yöntem

Beklenen değer hesabı iteratif koşullu beklenen değer teoremi üzerinden de doğrulanabilir:

E[X_2] = E[E[X_2|X_1]] = E[X_1 \cdot \mu] = \mu \cdot E[X_1] = \mu \cdot (X_0 \cdot \mu) = X_0 \cdot \mu^2

.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 14Soru →

$\{X_n\}_{n \geq 0}$ , başlangıç durumu $X_0 = 1$ olan ve her bir bireyin birbirinden bağımsız olarak ortalaması $\mu > 0$ ve varyansı $\sigma^2 > 0$ olan bir dağılımdan yavru ürettiği bir Galton-Watson dallanma (branching) süreci olsun.
$\mathcal{F}_n = \sigma(X_0, X_1, \dots, X_n)$ sürece ait doğal filtrasyonu göstermek üzere, $M_n = \frac{X_n}{\mu^n}$ sürecinin bir $\mathcal{F}_n$ -martingal olduğu bilinmektedir.

Buna göre, $M_n^2$ alt-martingalinin Doob ayrışım (Doob decomposition) teoremine göre $M_n^2 = N_n + A_n$ (burada $N_n$ bir martingaldir) biçimindeki ifadesinde yer alan öngörülebilir (predictable) ve artan $A_n$ sürecinin genel terimi aşağıdakilerden hangisidir? ( $A_0 = 0$ alınacaktır.)

\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{\sigma^2}{\mu^k} X_{k-1}

\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{\sigma^2}{\mu^{2k}} X_{k-1}^2

\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{\sigma^2}{\mu^{2k}} X_{k-1}

\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{\sigma^2}{\mu^{k+1}}

\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{\sigma^2}{\mu^{2k}} X_k

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{\sigma^2}{\mu^{2k}} X_{k-1}$

Cevap

Doob ayrışım teoremine göre doğru kompansatör süreci

\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{\sigma^2}{\mu^{2k}} X_{k-1}

olarak hesaplanır.

Doob ayrışım teoremine göre,

M_n^2

alt-martingali için artan ve öngörülebilir kompansatör süreci

A_n = \sum_{k=1}^n E[M_k^2 - M_{k-1}^2 \mid \mathcal{F}_{k-1}]

olarak tanımlanır.

M_k

bir martingal olduğundan bu ifade

\sum_{k=1}^n E[(M_k - M_{k-1})^2 \mid \mathcal{F}_{k-1}]

şekline dönüşür.

M_k - M_{k-1} = \frac{X_k - \mu X_{k-1}}{\mu^k}

olduğundan, karesinin

\mathcal{F}_{k-1}

bilindiğindeki beklenen değeri

\frac{1}{\mu^{2k}} Var(X_k \mid \mathcal{F}_{k-1})

'dir. Galton-Watson sürecinde

\mathcal{F}_{k-1}

verildiğinde

X_k

'nın koşullu varyansı

X_{k-1}\sigma^2

'dir. Bu değerler formülde yerine konulduğunda doğru ifadeye ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

A_n

kompansatör sürecinin genel formülünü Doob ayrışım teoremine göre ifade edin.

A_n = \sum_{k=1}^n E[M_k^2 - M_{k-1}^2 \mid \mathcal{F}_{k-1}]

olarak tanımlanır.

M_k

martingal olduğundan bu ifade

A_n = \sum_{k=1}^n E[(M_k - M_{k-1})^2 \mid \mathcal{F}_{k-1}]

biçimine sadeleşir.

Alt-martingaller her zaman bir martingal ve öngörülebilir (predictable) artan bir sürecin toplamı şeklinde tekil olarak ayrıştırılabilir.

2

Martingal farkını

\mathcal{F}_{k-1}

koşulu altında hesaplayarak varyans formuna getirin.

M_k - M_{k-1} = \frac{X_k - \mu X_{k-1}}{\mu^k}

olduğundan karesinin koşullu beklentisi

\frac{1}{\mu^{2k}} Var(X_k \mid \mathcal{F}_{k-1})

olur.

Sabit çarpanlar varyans (veya ikinci moment) operatöründen karesi alınarak dışarı çıkar.

3

Galton-Watson süreci için

X_k

'nın

\mathcal{F}_{k-1}

altındaki koşullu varyansını bulun ve toplam formülüne yerleştirin.

X_k

toplam

X_{k-1}

bağımsız bireyin yavru sayısı olduğundan,

Var(X_k \mid \mathcal{F}_{k-1}) = X_{k-1}\sigma^2

olur. Formülde yerine konduğunda

A_n = \sum_{k=1}^n \frac{\sigma^2}{\mu^{2k}} X_{k-1}

bulunur.

Bağımsız rassal değişkenlerin toplamının varyansı, tekil varyansların toplamına eşittir ve birey sayısı

\mathcal{F}_{k-1}

zamanında tam olarak bilinmektedir.

Anahtar Kavram

Doob Ayrışım Teoremi ve Alt-martingal Kompansatörü

Soru 15Soru →

Bir kamu kurumu, belirli bir altyapı projesinin aylık risk seviyesini stokastik bir süreç ile modellemektedir. Projenin başlangıç risk seviyesi $2$ olarak belirlenmiştir. Her ayın sonunda projenin risk seviyesi, birbirinden bağımsız olarak $p = \frac{3}{5}$ olasılıkla $1$ birim artmakta (risk yükselmekte) ve $q = \frac{2}{5}$ olasılıkla $1$ birim azalmaktadır (risk düşmekte).

Risk seviyesi $0$ 'a ulaştığında proje 'tamamen güvenli' statüsüne geçmekte ve artık bu seviyede kalmaktadır (yutan durum).

Buna göre, bu altyapı projesinin eninde sonunda 'tamamen güvenli' statüsüne geçme (risk seviyesinin $0$ 'a ulaşma) olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{4}{25}

\frac{2}{3}

\frac{4}{9}

\frac{5}{9}

1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{4}{9}$

Cevap

Projenin eninde sonunda tamamen güvenli statüsüne (0 noktasına) geçme olasılığı

\frac{4}{9}

'dur.

Asimetrik rassal yürüyüşte, sürecin pozitif yöne doğru bir sürüklenmesi (drift) bulunduğu (

p > q

) durumlarda, başlangıç noktası

i > 0

iken

0

numaralı yutan duruma eninde sonunda ulaşma olasılığı

\left(\frac{q}{p}\right)^i

formülü ile hesaplanır. Sorudaki risk parametreleri

p = \frac{3}{5}

,

q = \frac{2}{5}

ve başlangıç durumu

i = 2

formülde yerine konulduğunda sonucun

\frac{4}{9}

olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1

Sürecin parametrelerini ve türünü tanımlama.

Bu süreç,

p = \frac{3}{5}

ve

q = \frac{2}{5}

olan asimetrik bir rassal yürüyüş (random walk) problemidir. Yutan durum

0

, başlangıç durumu ise

i = 2

'dir.

Kullanılacak yutan duruma ulaşma (absorpsiyon) olasılığı formülünü belirlemek için sürecin niteliklerinin açıkça ortaya konması gerekir.

2

Rassal yürüyüşte yutan duruma ulaşma olasılığı kurallarını hatırlama.

Başlangıç durumu

i > 0

olmak üzere,

0

durumuna eninde sonunda ulaşma olasılığı

P_{i \to 0}

şudur:

p \leq q

ise olasılık

1

'dir.

p > q

ise olasılık

\left(\frac{q}{p}\right)^i

şeklindedir.

Sistemin sürüklenme (drift) yönüne göre (uzaklaşma veya yaklaşma) doğru olasılık sınır değerini belirlemek için kuralın tespit edilmesi şarttır.

3

Koşulları test etme ve doğru formülü seçme.

p = \frac{3}{5}

ve

q = \frac{2}{5}

olduğundan

p > q

koşulu sağlanır. Süreç

0

'dan uzaklaşma eğilimindedir. Bu nedenle formül

\left(\frac{q}{p}\right)^i

olarak seçilir.

Risk seviyesinin artma ihtimali azalma ihtimalinden yüksek olduğu için projenin güvenli duruma geçme olasılığı

1

'den küçüktür.

4

Formülde değerleri yerine koyarak nihai sonucu hesaplama.

P_{2 \to 0} = \left(\frac{2/5}{3/5}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}

elde edilir.

Belirlenen teorik modelin verilen nicel parametrelerle çözüme ulaştırılması tamamlanır.

Anahtar Kavram

Asimetrik Rassal Yürüyüşte (Random Walk) Yutan Duruma (Absorbing State) Ulaşma Olasılığı

Soru 16Soru →

Bir kamu kurumunun evrak kayıt ve inceleme biriminde tek bir uzman çalışmaktadır (M/M/1 modeli). Bu uzmanın evrak inceleme süreleri üstel dağılıma uymakta olup, saatte ortalama 20 evrak inceleyebilmektedir. Birime evrak geliş hızı ise saatte ortalama 12 evrak olup Poisson dağılımına uymaktadır.

Kurum yönetimi, birimdeki esnekliği artırmak amacıyla mevcut sistemi değiştirmeyi planlamaktadır. Yeni düzende, aynı bekleme hattından beslenen ve her biri saatte ortalama 10 evrak inceleyebilen iki uzmanın aynı anda çalışacağı M/M/2 modeline geçilecektir. (Müşteriler/Evraklar için tek bir kuyruk kullanılmaya devam edilecektir.)

Buna göre, yeni sisteme geçildiğinde evrakların sistemde (kuyrukta bekleme ve işlem görme aşamalarının toplamı) bulunma ortalaması (sistemdeki ortalama evrak sayısı, $L$ ) ilk duruma göre nasıl değişir?

\frac{3}{8}

artar.

\frac{3}{8}

azalır.

\frac{9}{40}

azalır.

\frac{9}{40}

artar.

Değişmez.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3}{8}$ artar.

Cevap

Sistemdeki ortalama evrak sayısı

\frac{3}{8}

artar.

Doğru yanıtı bulmak için iki sistemin

L

(sistemdeki ortalama müşteri/evrak sayısı) değerleri ayrı ayrı hesaplanmalıdır. M/M/1 modelinde sistemdeki ortalama evrak sayısı

L_1 = \frac{\lambda}{\mu - \lambda} = \frac{12}{8} = 1.5

olarak bulunur. M/M/2 modelinde ise öncelikle sistemin boş kalma olasılığı

P_0 = 0.25

hesaplanmalı, ardından

L_q = 0.675

bulunur. Sistemdeki toplam evrak sayısı ise

L_2 = L_q + (\lambda/\mu) = 0.675 + 1.2 = 1.875

(yani

15/8

) olarak elde edilir. İki durum arasındaki fark incelendiğinde

1.875 - 1.5 = +0.375

(

\frac{3}{8}

) artış olduğu görülür. Toplam hizmet kapasitesi aynı kalsa bile, çok kanallı yapıda her bir evrakın inceleme süresi iki katına çıktığı için, sistemde geçirilen ortalama süre ve dolayısıyla sistemdeki ortalama evrak sayısı artar.

Adım Adım Çözüm

1

Mevcut M/M/1 sistemi için ortalama evrak sayısının (

L_1

) hesaplanması.

\rho = \frac{12}{20} = 0.6

elde edilir.

L_1 = \frac{\lambda}{\mu - \lambda} = \frac{12}{20 - 12} = \frac{12}{8} = 1.5

bulunur.

Karşılaştırma için ilk durumdaki (M/M/1) sistemdeki müşteri sayısını belirlemek.

2

Yeni M/M/2 sistemi için parametrelerin belirlenip sistemin boş olma olasılığının (

P_0

) hesaplanması.

\lambda = 12

,

\mu = 10

,

s = 2

.

r = \frac{12}{10} = 1.2

,

\rho = \frac{1.2}{2} = 0.6

. Formül ile

P_0 = \left[ 1 + 1.2 + \frac{1.2^2}{2} \frac{1}{1-0.6} \right]^{-1} = \left[ 2.2 + \frac{1.44}{0.8} \right]^{-1} = [4]^{-1} = 0.25

bulunur.

Çok kanallı bekleme modellerinde tüm performans ölçütleri

P_0

değerine bağlıdır.

3

M/M/2 sistemi için kuyruktaki ortalama evrak sayısının (

L_q

) bulunması.

L_q = \frac{P_0 \cdot r^s \cdot \rho}{s! \cdot (1-\rho)^2} = \frac{0.25 \cdot 1.44 \cdot 0.6}{2 \cdot (0.4)^2} = \frac{0.216}{0.32} = 0.675 = \frac{27}{40}

elde edilir.

Sistemdeki ortalama sayıyı (L) hesaplayabilmek için önce kuyruk uzunluğuna ulaşılmalıdır.

4

M/M/2 sistemi için sistemdeki toplam evrak sayısının (

L_2

) bulunması.

L_2 = L_q + r = 0.675 + 1.2 = 1.875 = \frac{15}{8}

hesaplanır.

L = L_q + \frac{\lambda}{\mu}

ilişkisi kullanılarak hizmet gören evraklar da toplama dahil edilir.

5

İki sistem arasındaki farkın alınması.

L_2 - L_1 = 1.875 - 1.500 = +0.375 = \frac{3}{8}

artış bulunur.

Soruda istenen net değişimi ortaya koymak.

Anahtar Kavram

Tek ve çok kanallı kuyruk modellerinde performans ölçütlerinin (M/M/1 ve M/M/s) karşılaştırmalı analizi.

Tahmini Süre:4m 0s

Soru 17Soru →

Bir bilgisayar ağına sızan yeni bir zararlı yazılımın (virüsün) sistemdeki yayılımı, bir Galton-Watson dallanma süreci $\{X_n, n \geq 0\}$ ile modellenmektedir. Sisteme başlangıçta $1$ adet virüs bulaşmıştır ( $X_0 = 1$ ).

Her bir virüsün bir zaman birimi (nesil) sonunda sistemde bırakacağı kopyalarının (yavru virüs) sayısına ilişkin olasılık dağılımı aşağıdaki gibidir:

* $P(X=0) = \frac{1}{9}$ (Hiç kopya bırakmadan silinmesi)
* $P(X=1) = \frac{4}{9}$ (Sadece $1$ kopya bırakması)
* $P(X=2) = \frac{4}{9}$ ( $2$ kopya bırakarak çoğalması)

Buna göre, bu zararlı yazılımın 2. nesildeki beklenen kopya sayısı ( $E[X_2]$ ) ile er ya da geç sistemden tamamen yok olma olasılığı ( $\pi$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{16}{9}

ve

\frac{1}{4}

\frac{8}{3}

ve

\frac{1}{4}

\frac{16}{9}

ve

1

\frac{8}{3}

ve

1

\frac{16}{9}

ve

\frac{1}{9}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{16}{9}$ ve $\frac{1}{4}$

Cevap

\frac{16}{9}

ve

\frac{1}{4}

değerlerini içeren seçenektir.

Dallanma sürecinde ortalama yavru sayısı

\mu = \frac{4}{3}

olarak bulunur.

n=2

için beklenen birey sayısı

\mu^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}

olmalıdır. Yok olma olasılığı

\pi

, olasılık üreten fonksiyon

G(s) = \frac{1}{9} + \frac{4}{9}s + \frac{4}{9}s^2 = s

denkleminin köklerinden en küçüğüdür. Bu denklemin kökleri

s=1

ve

s=\frac{1}{4}

olarak bulunur.

\mu > 1

olduğundan yok olma ihtimali 1'den küçüktür, bu nedenle

\pi = \frac{1}{4}

doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

Bir virüsün üreteceği yavru sayısının beklenen değerini (

\mu

) hesaplayın.

\mu = E[X] = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) = 0 \cdot \frac{1}{9} + 1 \cdot \frac{4}{9} + 2 \cdot \frac{4}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}

Dallanma süreçlerinde n. nesildeki beklenen sayıyı ve sürecin kritiklik durumunu belirlemek için ilk neslin beklenen değeri (\mu) bulunmalıdır.

2

2. nesildeki beklenen kopya sayısını (

E[X_2]

) formülü kullanarak bulun.

E[X_2] = \mu^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}

Galton-Watson süreçlerinde n. neslin beklenen değeri

E[X_n] = X_0 \cdot \mu^n

formülü ile hesaplanır. Burada

X_0 = 1

ve

n = 2

'dir.

3

Yok olma olasılığını (

\pi

) bulmak için olasılık üreten fonksiyonu (

G(s)

) oluşturup

G(s) = s

denklemini çözün.

G(s) = \frac{1}{9} + \frac{4}{9}s + \frac{4}{9}s^2 = s \implies 4s^2 + 4s + 1 = 9s \implies 4s^2 - 5s + 1 = 0

Sistemin er ya da geç yok olma olasılığı, olasılık üreten fonksiyonun

s=G(s)

denklemini sağlayan köklerinden biridir.

4

Elde edilen ikinci dereceden denklemin köklerini bulun ve uygun olanı seçin.

(4s - 1)(s - 1) = 0 \implies s = \frac{1}{4}

veya

s = 1

.

\mu = \frac{4}{3} > 1

olduğundan süreç süper kritiktir ve yok olma olasılığı

\pi < 1

olmalıdır. Bu nedenle

\pi = \frac{1}{4}

olur.

Süper kritik (\mu > 1) süreçlerde yok olma olasılığı daima 1'den küçük olan en küçük pozitif köke eşittir.

Anahtar Kavram

Galton-Watson Dallanma Süreci ve Yok Olma Olasılığı

Soru 18Soru →

Bir nükleer reaktördeki nötron çoğalması, bir Galton-Watson dallanma süreci $\{X_n, n \geq 0\}$ ile modellenmektedir. $X_0 = 1$ olmak üzere, bir nötronun bir mikrosaniye içinde parçalanarak yeni nötronlar üretme olasılıkları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Üretilen Nötron Sayısı ( $k$ )	$0$	$1$	$2$	$3$
Olasılık ( $p_k$ )	$1/6$	$1/3$	$1/3$	$1/6$

Buna göre, bu nötron zincirleme reaksiyonunun nihai olarak sönümlenme (yok olma) olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\sqrt{13}-3}{2}

1

\frac{2}{3}

\frac{1}{6}

\frac{\sqrt{13}+3}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{\sqrt{13}-3}{2}$

Cevap

Reaksiyonun nihai sönümlenme olasılığı (\sqrt{13}-3)/2 değeridir.

Sönümlenme olasılığı (\pi), yavru dağılımının olasılık çıkaran fonksiyonu (PGF) olan

G(s) = \frac{1}{6} + \frac{1}{3}s + \frac{1}{3}s^2 + \frac{1}{6}s^3

ile

s

'in eşitlendiği

G(s) = s

denkleminin

[0, 1)

aralığındaki köküdür. Denklemin düzenlenmesiyle elde edilen

s^3 + 2s^2 - 4s + 1 = 0

polinomu, bilinen

s=1

kökü yardımıyla

(s-1)(s^2 + 3s - 1) = 0

şeklinde çarpanlarına ayrılır. İkinci dereceden çarpanın köklerinden olasılık tanım aralığına

(0 \leq \pi < 1)

uyan tek değer

\frac{\sqrt{13}-3}{2}

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Sürecin beklenen değerini (\mu) hesapla.

\mu = E[X] = 0(1/6) + 1(1/3) + 2(1/3) + 3(1/6) = 0 + 1/3 + 2/3 + 3/6 = 1.5

Sürecin altkritik, kritik veya süperkritik olduğunu belirlemek için ortalama yavru sayısına ihtiyaç vardır. \mu > 1 olduğu için süreç süperkritiktir ve sönümlenme olasılığı \pi < 1 olmalıdır.

2

Olasılık Çıkaran Fonksiyonu (PGF) olan G(s) denklemini kur.

G(s) = p_0 + p_1 s + p_2 s^2 + p_3 s^3 = \frac{1}{6} + \frac{1}{3}s + \frac{1}{3}s^2 + \frac{1}{6}s^3

Dallanma süreçlerinde sönümlenme olasılığı (\pi), G(s) = s denkleminin [0, 1] aralığındaki en küçük köküdür.

3

G(s) = s denklemini çözmek üzere düzenle.

\frac{1}{6} + \frac{1}{3}s + \frac{1}{3}s^2 + \frac{1}{6}s^3 = s \Rightarrow 1 + 2s + 2s^2 + s^3 = 6s \Rightarrow s^3 + 2s^2 - 4s + 1 = 0

Kökleri bulabilmek için denklemi standart polinom formuna getirmeliyiz.

4

Polinomu çarpanlarına ayır ve kökleri bul.

s=1 her zaman bir köktür. Polinomu (s-1)'e bölersek: (s-1)(s^2 + 3s - 1) = 0 elde edilir.

Üçüncü dereceden denklemi çözmek için bilinen s=1 kökünden faydalanarak denklemi ikinci dereceye indirgeriz.

5

İkinci dereceden denklemin [0, 1) aralığındaki geçerli kökünü (\pi) tespit et.

s^2 + 3s - 1 = 0 denkleminin kökleri: s = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}. Pozitif olan \pi = \frac{\sqrt{13}-3}{2} geçerli olasılıktır.

Sönümlenme olasılığı negatif olamaz ve süperkritik süreçte 1'den küçüktür (\sqrt{13} \approx 3.6 olduğundan kök \approx 0.3'tür).

Anahtar Kavram

Galton-Watson süreçlerinde sönümlenme olasılığı ve Olasılık Çıkaran Fonksiyon (PGF)

Soru 19Soru →

Bir araştırmacı, stokastik süreçlerin temel kavramlarını incelemek amacıyla aşağıdaki dört farklı rastgele süreci modellemiştir:

I. $\{X_n, n \in \mathbb{N}\}$ : Bir fabrikada $n$ . günün sonuna kadar üretilen kümülatif hatalı ürün sayısı (Günlük hatalı ürün sayıları bağımsız rastgele değişkenlerdir).
II. $\{N(t), t \geq 0\}$ : Bir sunucuya $t$ anına kadar gelen toplam istek sayısı (Standart Poisson süreci varsayımıyla modellenmektedir).
III. $\{Z_n, n \in \mathbb{N}\}$ : Bir varlığın $n$ . gün sonundaki fiyatı; $Z_n = Z_{n-1} + \epsilon_n$ denklemiyle ifade edilen ve $\epsilon_n$ 'lerin sürekli, bağımsız rastgele şoklar olduğu bir rassal yürüyüştür.
IV. $\{W(t), t \geq 0\}$ : Bir partikülün tek boyuttaki konumunu modelleyen standart Wiener süreci (Brownian hareket).

Bu stokastik süreçlerin durum uzayı ( $S$ ), zaman parametresi kümesi ( $T$ ), örneklem fonksiyonu (sample path) özellikleri ve bağımsız artışlılık yapıları teorik olarak değerlendirildiğinde aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

IV. sürecin bağımsız artışlı bir stokastik süreç kabul edilebilmesi için, örtüşmeyen

(t_1, t_2)

ve

(t_2, t_3)

zaman aralıklarındaki konum değişimlerinin bağımsız olmasının yanı sıra, bu olayların örnek uzayında tamamen ayrık (kesişimlerinin boş küme) olması zorunludur.

Sürekli zamanlı ve kesikli durumlu yapıya sahip olan II. süreçte, sürecin durum uzayının (

S

) aldığı değerler olan toplam istek sayıları ile ardışık iki istek arasında geçen bekleme sürelerinin her ikisi de karakteristik olarak Poisson dağılımına uymalıdır.

II. süreçte zaman parametresi kümesi (

T

) sürekli, durum uzayı (

S

) kesiklidir ve örneklem fonksiyonu sıçramalıdır; III. süreçte ise

T

kümesi kesikli,

S

uzayı sürekli olup, bu süreçlerin bağımsız artışlılık özellikleri örneklem yollarının sürekliliğinden bağımsız olarak tanımlanır.

Sürekli durum uzayına (

S

) sahip III. süreçte, ardışık olmayan günlerdeki fiyat değişimleri arasındaki kovaryans değerinin sıfır bulunması, sürecin bağımsız artışlı bir yapıya sahip olduğunu genel bağlamda kesin olarak kanıtlamak için matematiksel olarak yeterlidir.

Sürekli zaman parametresi kümesine (

T

) ve sürekli durum uzayına (

S

) sahip olan IV. süreçte, sürecin herhangi bir gerçekleşimi için çizilen örneklem yolu kesintisiz bir eğri oluşturduğundan dolayı ardışık zaman aralıklarındaki artışlar zorunlu olarak birbirine bağımlıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II. süreçte zaman parametresi kümesi ( $T$ ) sürekli, durum uzayı ( $S$ ) kesiklidir ve örneklem fonksiyonu sıçramalıdır; III. süreçte ise $T$ kümesi kesikli, $S$ uzayı sürekli olup, bu süreçlerin bağımsız artışlılık özellikleri örneklem yollarının sürekliliğinden bağımsız olarak tanımlanır.

Cevap

II. süreçte zaman parametresi kümesi sürekli, durum uzayı kesiklidir ve örneklem fonksiyonu sıçramalıdır; III. süreçte ise zaman kesikli, durum uzayı sürekli olup, bağımsız artışlılık özelliği örneklem yollarının sürekliliğinden bağımsızdır.

Bir stokastik sürecin tanımlanmasında durum uzayı (

S

) sürecin alabileceği değerleri, zaman parametresi kümesi (

T

) ise sürecin hangi anlarda gözlemlendiğini ifade eder. Poisson sürecinde (II. süreç) zaman sürekli (

t \geq 0

) iken, çağrı sayıları kesiklidir (

0, 1, 2, \dots

) ve örneklem fonksiyonu sıçramalıdır. Rassal yürüyüş modelinde (III. süreç) zaman kesikli, durum uzayı ise süreklidir. Öte yandan bağımsız artışlılık; sürecin örneklem fonksiyonunun düzgün veya sıçramalı olmasından tamamen bağımsız, ardışık olasılıksal değişimlerin birbirini etkilememesiyle ilgili bir özelliktir. Bu nedenle doğru eşleştirme ve teorik ayrım bu seçenekte yapılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen süreçlerin zaman parametresi kümelerini (

T

) ve durum uzaylarını (

S

) sınıflandırın.

II. süreç (

N(t)

):

T

sürekli (

t \geq 0

),

S

kesikli (tamsayılar). III. süreç (

Z_n

):

T

kesikli (

n \in \mathbb{N}

),

S

sürekli (reel sayılar).

Sürecin modeline göre zaman endeksinin sayılabilir veya sürekli olmasına, alabileceği sonuçların ise aralıklı veya sürekli olmasına bakılır.

2

Süreçlerin örneklem fonksiyonlarını (sample path) analiz edin.

II. sürecin örneklem yolu sıçramalı (basamaklı) sağdan sürekli bir fonksiyondur. IV. sürecin örneklem yolu ise süreklidir.

Örneklem fonksiyonu,

\omega

deneme sonucu sabit tutulduğunda sürecin zaman eksenindeki yörüngesidir ve süreçlerin yapısına göre süreklilik veya sıçrama gösterir.

3

Bağımsız artışlılık özelliğini teorik kavramlarla eşleştirin.

Bağımsız artışlılık, ardışık artışların olasılıksal olarak bağımsız olmasını ifade eder ve örneklem yolunun görsel (topolojik) sürekliliği ile bağlantılı değildir.

Örneğin IV. süreç (Wiener süreci) sürekli yollara sahip olmasına rağmen bağımsız artışlıdır. Olasılıksal bağımsızlık, fiziksel süreklilik veya kümesel ayrıklık ile karıştırılmamalıdır.

Anahtar Kavram

Durum Uzayı, Zaman Parametresi Kümesi ve Örneklem Fonksiyonu Analizi

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 20Soru →

Bir veri işleme merkezinde, gelen veri paketleri kapasitesi en fazla 3 paket olan bir tampon bellekte (buffer) tutulmaktadır. Sistemdeki paket sayısına bağlı olarak geliş ve işlenme hızları değişmektedir.

Sistemdeki paket sayısı $n$ ( $n = 0, 1, 2, 3$ ) olmak üzere;
- Sisteme yeni paket gelişleri Poisson sürecine uygun olup, geliş hızları sırasıyla $\lambda_0 = 4$ , $\lambda_1 = 3$ ve $\lambda_2 = 2$ paket/milisaniye olarak verilmiştir ( $\lambda_3 = 0$ ).
- Paketlerin işlenme süreleri üstel dağılıma sahip olup, işlenme hızları sırasıyla $\mu_1 = 1$ , $\mu_2 = 2$ ve $\mu_3 = 4$ paket/milisaniye şeklindedir ( $\mu_0 = 0$ ).

Buna göre, sistem uzun dönem dengede (kararlı durumda) iken, tampon belleğin tamamen dolu olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{14}

\frac{4}{21}

\frac{3}{14}

\frac{2}{7}

\frac{1}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3}{14}$

Cevap

Sistemin tamamen dolu olma olasılığı

\frac{3}{14}

'tür.

Sistem, durum uzayı

S = \{0, 1, 2, 3\}

olan sürekli zamanlı bir doğum-ölüm süreci olarak modellenebilir. Kararlı durumda her ardışık durum çifti için denge denklemleri

\pi_n \mu_n = \pi_{n-1} \lambda_{n-1}

olarak kurulur. Verilen hız değerleri yerine konulduğunda olasılıklar

\pi_0

cinsinden ifade edilebilir:

\pi_1 = 4\pi_0

,

\pi_2 = 6\pi_0

ve

\pi_3 = 3\pi_0

. Toplam olasılığın 1 olma koşulu uygulandığında,

\pi_0(1 + 4 + 6 + 3) = 1

eşitliğinden

\pi_0 = 1/14

elde edilir. Bizden tampon belleğin tam dolu olduğu

n=3

durumu istendiği için

\pi_3 = 3\pi_0 = 3/14

olarak doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Doğum-ölüm süreci için kararlı durum (dengede) denklemlerini yazın.

Genel formül:

\pi_n \mu_n = \pi_{n-1} \lambda_{n-1}

(

n = 1, 2, 3

)

Sistem uzun dönemde dengeye ulaştığında, ardışık durumlar arasındaki geçiş hızları birbirine eşitlenmelidir.

2

Tüm durum olasılıklarını

\pi_0

cinsinden ifade edin.

\pi_1 = \frac{\lambda_0}{\mu_1}\pi_0 = \frac{4}{1}\pi_0 = 4\pi_0

\pi_2 = \frac{\lambda_1}{\mu_2}\pi_1 = \frac{3}{2}(4\pi_0) = 6\pi_0

\pi_3 = \frac{\lambda_2}{\mu_3}\pi_2 = \frac{2}{4}(6\pi_0) = 3\pi_0

Olasılıkları tek bir bilinmeyene (

\pi_0

) indirgemek, toplam olasılık şartını kullanarak çözüme gitmeyi sağlar.

3

Toplam olasılığın 1'e eşit olması şartını kullanarak

\pi_0

değerini bulun.

\sum_{i=0}^{3} \pi_i = 1 \implies \pi_0 + 4\pi_0 + 6\pi_0 + 3\pi_0 = 1 \implies 14\pi_0 = 1 \implies \pi_0 = \frac{1}{14}

Bir sistemin alabileceği tüm olası durumların (0, 1, 2 ve 3) olasılıklarının toplamı mutlaka 1 olmak zorundadır.

4

Tamamen dolu olma (n=3) durumunun olasılığını hesaplayın.

\pi_3 = 3\pi_0 = 3 \times \frac{1}{14} = \frac{3}{14}

Soruda kapasitenin tamamen dolduğu, yani tampon bellekte 3 paketin bulunduğu durumun olasılığı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Sürekli Zamanlı Markov Zincirlerinde (CTMC) Doğum-Ölüm Süreçleri ve Kararlı Durum Olasılıkları

Stokastik Süreçler

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap