Soru

Zorluk: OrtaStokastik Süreçlerin Temel Kavramları

Bir merkez bankasının finansal istikrar birimi, piyasa dinamiklerini modellemek amacıyla iki farklı stokastik süreç tanımlamıştır:

I. Her işlem gününün kapanışında kaydedilen ulusal likidite endeksi değeri.
II. Gün içerisinde herhangi bir anda sisteme ulaşan toplam anlık EFT işlem sayısı.

Bu {X(t),tT}\{X(t), t \in T\} stokastik süreçlerinin durum uzayı (SS), zaman parametresi kümesi (TT) ve temel özellikleri dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. I. modelin zaman parametresi kümesi (TT) kesikli olup durum uzayı (SS) sürekliyken; II. model sürekli zamanlı ve kesikli durumlu bir süreci yansıtır ve bu süreçlerin sabit bir ω\omega sonucu için zamana göre çizimi örneklem yolunu oluşturur.Cevap
  2. B
    Süreçlerin bağımsız artışlı bir yapıya sahip olması, herhangi iki kesişmeyen zaman aralığındaki durum değişimlerinin örnek uzayda ayrık (kesişimleri boş küme) olaylar olmasını gerektirir.
  3. C
    Sabit bir tt zamanı için sürecin alabileceği tüm değerlerin oluşturduğu fonksiyona örneklem fonksiyonu denir ve bu fonksiyonların gelecekteki beklenen değeri her zaman mevcut durumuna eşittir.
  4. D
    II. modelin farklı zaman dilimlerindeki gözlemleri arasındaki kovaryansın sıfır bulunması, bu sürecin kesinlikle bağımsız artışlı bir stokastik süreç olduğunu matematiksel olarak kanıtlar.
  5. E
    I. model sürekli zamanlı bir yapıda olup, II. modelde ardışık iki EFT işlemi arasında geçen bekleme süreleri Poisson dağılımı ile modellenen kesikli durumlu bir yapı gösterir.

Cevap

I. modelin zaman parametresi kesikli, durum uzayı sürekli; II. modelin zaman parametresi sürekli, durum uzayı kesiklidir ve süreçlerin belirli bir gerçekleşmesi örneklem yolunu oluşturur.
I. modelde endeks sadece gün sonlarında kaydedildiği için zaman parametresi kesiklidir, ancak endeksin alabileceği değerler süreklidir. II. modelde işlemler zamanın herhangi bir anında gerçekleşebildiği için zaman süreklidir, fakat sayım yapıldığı için durum uzayı kesiklidir. Ayrıca, olasılık teorisinde bir stokastik sürecin sabit bir örnek uzay çıktısı (ω\omega) için zamana (tt) bağlı çizimi örneklem yolu (sample path) olarak tanımlanır.

Adım Adım Çözüm

1
I. modelin zaman ve durum özelliklerini belirle.
Zaman: 'Her günün kapanışı' (Kesikli, T={1,2,3,...}T = \{1, 2, 3, ...\}). Durum: 'Endeks değeri' (Sürekli, S=RS = \mathbb{R}).
Zaman parametresi kümesinin (TT) ve durum uzayının (SS) yapısı sürecin sınıflandırılmasını sağlar.
2
II. modelin zaman ve durum özelliklerini belirle.
Zaman: 'Herhangi bir an' (Sürekli, t0t \geq 0). Durum: 'İşlem sayısı' (Kesikli, S={0,1,2,...}S = \{0, 1, 2, ...\}).
Süreçlerin ayrımını netleştirmek ve sınıflandırmayı tamamlamak için.
3
Örneklem fonksiyonu (örneklem yolu) kavramını teorik tanımla karşılaştır.
Bir {X(t)}\{X(t)\} sürecinde ωΩ\omega \in \Omega sabitlenip, tTt \in T değiştirildiğinde elde edilen deterministik fonksiyona örneklem yolu denir.
Seçeneklerdeki kavramsal iddiaların doğruluğunu test etmek için.

Anahtar Kavram

Stokastik Süreçlerde Zaman (TT) ve Durum Uzayı (SS) Sınıflandırması
Bu soruyu puanla