Examkin

Soru

Zorluk: KolayTamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)

Bir gıda kontrol laboratuvarında analiz edilen ürünlerin tuz miktarları (gram), varyansı σ2=16\sigma^2=16 olan normal dağılıma uymaktadır. Bu analizlerden elde edilen nn birimlik bir rastgele örneklem X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n olduğuna göre, kitle ortalaması μ\mu parametresinin Lehmann-Scheffe teoremi uyarınca düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edicisi (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Xˉ\bar{X}Cevap
  2. B
    ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i
  3. C
    X1X_1
  4. D
    Xˉn\frac{\bar{X}}{n}
  5. E
    nXˉn\bar{X}

Cevap

Örneklem ortalaması olan Xˉ\bar{X}, kitle ortalaması μ\mu için düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edicidir (UMVUE).
Normal dağılımda kitle varyansı bilindiğinde, örneklem ortalaması olan Xˉ\bar{X} ifadesi, μ\mu parametresi için tam ve yeterli olan ∑Xi\sum X_i istatistiğinin yansız bir fonksiyonudur. Lehmann-Scheffe teoremi uyarınca, bu özelliklere sahip bir tahmin edici, düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edici (UMVUE) olarak tanımlanır ve benzersizdir.

Adım Adım Çözüm

1
Dağılımın tanımlanması
X∼N(μ,16)X \sim N(\mu, 16)
Soruda verilerin normal dağıldığı ve varyansın bilindiği ifade edilmiştir.
2
Tam ve yeterli istatistiğin belirlenmesi
T=∑i=1nXiT = \sum_{i=1}^n X_i istatistiği μ\mu için tam ve yeterlidir.
Normal dağılım üstel aile üyesidir ve kitle varyansı bilindiğinde gözlemlerin toplamı tam ve yeterli istatistiktir.
3
Yansızlık kontrolünün yapılması
E[Xˉ]=E[1n∑i=1nXi]=μE[\bar{X}] = E[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i] = \mu
Örneklem ortalamasının beklenen değeri kitle ortalamasına eşittir, yani Xˉ\bar{X} yansız bir tahmin edicidir.
4
Lehmann-Scheffe teoreminin uygulanması
Xˉ\bar{X} bir UMVUE'dir.
Teorem gereği, tam ve yeterli istatistiğin yansız olan herhangi bir fonksiyonu, o parametre için benzersiz ve en küçük varyanslı yansız tahmin edicidir.

Anahtar Kavram

Lehmann-Scheffe Teoremi: Tam ve yeterli bir istatistiğin fonksiyonu olan yansız bir tahmin edici, benzersiz bir UMVUE'dir.

Alternatif Yöntem

Rao-Blackwell teoremi kullanılarak da herhangi bir yansız tahmin edicinin (örneğin X1X_1) tam ve yeterli istatistik (∑Xi\sum X_i) üzerine koşullu beklentisi alınarak E[X1∣∑Xi=t]=XˉE[X_1 | \sum X_i = t] = \bar{X} sonucuna ulaşılabilir.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Tamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)

Bu konudan daha fazla soru