Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMonoton Olabilirlik Oranı (MLR)

Bir belediyenin çağrı merkezine belirli bir saat diliminde gelen acil ihbar sayıları XX rassal değişkeni ile temsil edilmektedir. XX'in λ>0\lambda > 0 parametreli Poisson dağılımına sahip olduğu varsayılmaktadır. Olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

P(X=x)=e−λλxx!,x=0,1,2,…P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}, \quad x = 0, 1, 2, \dots

Çağrı merkezinin kalite kontrol birimi, belirli bir gün boyunca rastgele seçilen nn farklı saat diliminde gelen ihbar sayılarını X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n şeklinde kaydetmiştir. Birim, ortalama ihbar sayısının belirli bir kritik eşiği aşıp aşmadığını incelemek amacıyla H0:λ≤λ0H_0: \lambda \le \lambda_0 hipotezine karşı H1:λ>λ0H_1: \lambda > \lambda_0 alternatif hipotezini test etmek istemektedir.

Bu hipotez testi için Karlin-Rubin teoremi yardımıyla Düzgün En Güçlü (UMP) testin bulunabilmesi amacıyla olabilirlik fonksiyonları oranı (Likelihood Ratio) kullanıldığında, geçerli olan yeterli istatistik ve Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) yönü aşağıdakilerden hangisidir?

  1. T(X)=∑i=1nXiT(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n X_i istatistiğine göre monoton artanCevap
  2. B
    T(X)=∑i=1nXiT(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n X_i istatistiğine göre monoton azalan
  3. C
    T(X)=max⁡(X1,X2,…,Xn)T(\mathbf{X}) = \max(X_1, X_2, \dots, X_n) istatistiğine göre monoton artan
  4. D
    T(X)=∏i=1nXiT(\mathbf{X}) = \prod_{i=1}^n X_i istatistiğine göre monoton azalan
  5. E
    T(X)=∑i=1n(Xi−Xˉ)2T(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 istatistiğine göre monoton artan

Cevap

Olabilirlik fonksiyonlarının oranı toplam istatistiğine bağlı olup, tabanı 1'den büyük olan üslü bir fonksiyon elde edildiğinden T(X)=∑i=1nXiT(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n X_i istatistiğine göre monoton artandır.
Poisson dağılımının n hacimli örneklemi üzerinden iki farklı parametre (λ2>λ1\lambda_2 > \lambda_1) için yazılan olabilirlik fonksiyonlarının oranı L(λ2∣x)L(λ1∣x)=e−n(λ2−λ1)(λ2λ1)∑i=1nxi\frac{L(\lambda_2|\mathbf{x})}{L(\lambda_1|\mathbf{x})} = e^{-n(\lambda_2 - \lambda_1)} \left(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^{\sum_{i=1}^n x_i} şeklindedir. Burada λ2>λ1\lambda_2 > \lambda_1 olduğu için λ2λ1\frac{\lambda_2}{\lambda_1} kesri 1'den büyüktür. Sabit ve 1'den büyük bir sayının T(X)=∑i=1nXiT(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n X_i kuvveti şeklinde yazılan bu ifade, T(X)T(\mathbf{X}) istatistiğine göre monoton artan (sürekli büyüyen) bir fonksiyondur. Dolayısıyla yeterli istatistik ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i olup, fonksiyon monoton artandır.

Adım Adım Çözüm

1
Poisson dağılımı için n hacimli örneklemin olabilirlik fonksiyonunu (L) yazmak.
L(λ∣x)=e−nλλ∑xi∏xi!L(\lambda|\mathbf{x}) = \frac{e^{-n\lambda} \lambda^{\sum x_i}}{\prod x_i!}
Olabilirlik oranı testi (MLR) için öncelikle ilgili parametreye bağlı olabilirlik fonksiyonunun elde edilmesi gerekir.
2
λ2>λ1\lambda_2 > \lambda_1 olmak üzere, iki farklı parametre değeri için olabilirlik fonksiyonlarının oranını hesaplamak.
L(λ2∣x)L(λ1∣x)=e−nλ2λ2∑xi/∏xi!e−nλ1λ1∑xi/∏xi!=e−n(λ2−λ1)(λ2λ1)∑xi\frac{L(\lambda_2|\mathbf{x})}{L(\lambda_1|\mathbf{x})} = \frac{e^{-n\lambda_2} \lambda_2^{\sum x_i} / \prod x_i!}{e^{-n\lambda_1} \lambda_1^{\sum x_i} / \prod x_i!} = e^{-n(\lambda_2 - \lambda_1)} \left(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^{\sum x_i}
Karlin-Rubin teoremi gereği monotonluk özelliğini incelemek için λ2>λ1\lambda_2 > \lambda_1 şartı altında oranın x\mathbf{x} örneklemine nasıl bağlı olduğunu bulmak gerekir.
3
Elde edilen oranın hangi istatistiğe bağlı olduğunu ve artan/azalan karakteristiğini belirlemek.
Oran yalnızca T(x)=∑i=1nxiT(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n x_i istatistiğine bağlıdır. λ2>λ1\lambda_2 > \lambda_1 koşulundan dolayı λ2λ1>1\frac{\lambda_2}{\lambda_1} > 1'dir. Pozitif ve 1'den büyük tabanlı bir üslü fonksiyon, üssü olan ∑xi\sum x_i değerine göre daima artandır.
Düzgün En Güçlü (UMP) testin varlığını göstermek için yeterli istatistik T(x)T(\mathbf{x})'in bulunması ve oranın bu istatistiğe göre monotonluk yönünün kesin olarak tayin edilmesi şarttır.

Anahtar Kavram

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) ve Yeterli İstatistik
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR)

Bu konudan daha fazla soru