Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

İstatistiksel çıkarım teorisinde, bilinmeyen bir θ\theta parametresini tahmin etmek amacıyla bir TnT_n tahmin edicisi önerilmiştir. Bu tahmin edicinin yan (bias) fonksiyonu B(Tn)=cnB(T_n) = \frac{c}{n} ve varyansı V(Tn)=θ2n2V(T_n) = \frac{\theta^2}{n^2} olarak verilmiştir (Burada c≠0c \neq 0 sabit bir gerçel sayıdır).

Buna göre, TnT_n tahmin edicisi için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. Sonlu örneklem çaplarında yanlıdır, ancak örneklem çapı sonsuza giderken tutarlı bir tahmin edicidir.Cevap
  2. B
    Yanlı bir tahmin edici olduğu için hiçbir durumda tutarlı bir tahmin edici olamaz.
  3. C
    Her nn örneklem çapı için yansızdır ve varyansı sıfıra yakınsadığı için tutarlıdır.
  4. D
    Asimptotik olarak yansızdır ancak ortalama hata karesi (MSE) sıfıra yakınsamadığı için tutarsızdır.
  5. E
    Ortalama hata karesi (MSE) ile varyans birbirine eşit olmadığı için tutarlılık özelliği incelenemez.

Cevap

Verilen tahmin edici sonlu örneklem çaplarında yanlıdır, ancak örneklem çapı sonsuza giderken tutarlı bir tahmin edicidir.
Doğru seçenek, TnT_n tahmin edicisinin sonlu örneklemlerde yanlı (c/n≠0c/n \neq 0) olduğunu, ancak Ortalama Hata Karesi'nin (MSE) limiti sıfıra gittiği için ((θ2+c2)/n2→0(\theta^2+c^2)/n^2 \to 0) asimptotik olarak tutarlı bir tahmin edici olduğunu doğru bir biçimde ifade etmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Tahmin edicinin sonlu n değerleri için yansızlığını kontrol et.
B(Tn)=cnB(T_n) = \frac{c}{n} ve c≠0c \neq 0 olduğundan, her sonlu nn için tahmin edici yanlıdır.
Yansız bir tahmin edicinin yan (bias) değeri tam olarak sıfır olmalıdır.
2
Tahmin edicinin asimptotik yansızlığını incele.
lim⁡n→∞B(Tn)=lim⁡n→∞cn=0\lim_{n \to \infty} B(T_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{c}{n} = 0 olduğu için TnT_n asimptotik yansızdır.
Örneklem çapı sonsuza giderken yan miktarının sıfıra yaklaşması asimptotik yansızlık şartıdır.
3
Tutarlılığı test etmek için Ortalama Hata Karesi (MSE) formülünü yaz ve hesapla.
MSE(Tn)=V(Tn)+[B(Tn)]2=θ2n2+(cn)2=θ2+c2n2MSE(T_n) = V(T_n) + [B(T_n)]^2 = \frac{\theta^2}{n^2} + (\frac{c}{n})^2 = \frac{\theta^2 + c^2}{n^2} olarak bulunur.
MSE'nin sıfıra yakınsaması, tahmin edicinin tutarlı olması için yeterli bir koşuldur.
4
Örneklem çapı sonsuza giderken MSE'nin limitini al.
lim⁡n→∞MSE(Tn)=lim⁡n→∞θ2+c2n2=0\lim_{n \to \infty} MSE(T_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{\theta^2 + c^2}{n^2} = 0 sonucuna ulaşılır.
Limit 0 çıktığı için MSE yeter koşulu sağlanır ve TnT_n tutarlı bir tahmin edicidir.

Anahtar Kavram

Yanlı bir tahmin edicinin, varyansı ve yan miktarının karesi asimptotik olarak sıfıra gidiyorsa (yani MSE limiti sıfırsa) tutarlı bir tahmin edici olması.
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

Bu konudan daha fazla soru