Examkin

Soru

Zorluk: OrtaEn Küçük Kareler Yöntemi (Least Squares Estimation)

Bir işletmenin farklı şubelerindeki reklam harcamaları (XX) ile haftalık satış gelirleri (YY) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla n=5n = 5 şubeden veri derlenmiştir.

Hesaplanan bazı özet istatistikler aşağıda verilmiştir:
∑i=15Xi=20 \sum_{i=1}^{5} X_i = 20
∑i=15Yi=50 \sum_{i=1}^{5} Y_i = 50
∑i=15Xi2=130 \sum_{i=1}^{5} X_i^2 = 130
∑i=15XiYi=390 \sum_{i=1}^{5} X_i Y_i = 390

Hata terimlerinin kareleri toplamını (S=∑ϵi2S = \sum \epsilon_i^2) minimize etme prensibine dayanan En Küçük Kareler (EKK) yöntemi kullanıldığında, Yi=β0+β1Xi+ϵiY_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i basit doğrusal regresyon modelinin tahmin denklemi (Y^\hat{Y}) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Y^=−5.2+3.8X\hat{Y} = -5.2 + 3.8XCevap
  2. B
    Y^=−2+3X\hat{Y} = -2 + 3X
  3. C
    Y^=25.2+3.8X\hat{Y} = 25.2 + 3.8X
  4. D
    Y^=25.2−3.8X\hat{Y} = 25.2 - 3.8X
  5. E
    Y^=10+3.8X\hat{Y} = 10 + 3.8X

Cevap

Modelin doğru tahmin denklemi Y^=−5.2+3.8X\hat{Y} = -5.2 + 3.8X olmalıdır.
EKK tahmin edicileri, hata terimlerinin kareleri toplamını minimize eden normal denklemlerin ortak çözümünden elde edilir. Standart basit doğrusal regresyonda eğim katsayısı β^1=n∑XY−∑X∑Yn∑X2−(∑X)2\hat{\beta}_1 = \frac{n\sum XY - \sum X \sum Y}{n\sum X^2 - (\sum X)^2} (veya eşdeğer merkezileştirilmiş haliyle SxySxx\frac{S_{xy}}{S_{xx}}) olarak bulunur. Değerler yerine konulduğunda β^1=19050=3.8\hat{\beta}_1 = \frac{190}{50} = 3.8 elde edilir. Sabit terim ise regresyon doğrusunun ortalamalar noktasından geçmesi gerektiği için β^0=Yˉ−β^1Xˉ=10−3.8(4)=−5.2\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1\bar{X} = 10 - 3.8(4) = -5.2 şeklinde hesaplanır. Bu nedenle doğru tahmin denklemi Y^=−5.2+3.8X\hat{Y} = -5.2 + 3.8X olur.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem ortalamalarını hesaplama
Xˉ=20/5=4\bar{X} = 20 / 5 = 4 ve Yˉ=50/5=10\bar{Y} = 50 / 5 = 10
Eğim ve sabit terim hesaplamalarında merkezi (düzeltilmiş) değerlere ihtiyaç duyulur.
2
Düzeltilmiş kareler ve çarpımlar toplamlarını (SxxS_{xx} ve SxyS_{xy}) bulma
Sxx=∑Xi2−nXˉ2=130−5(16)=50S_{xx} = \sum X_i^2 - n\bar{X}^2 = 130 - 5(16) = 50
Sxy=∑XiYi−nXˉYˉ=390−5(4)(10)=190S_{xy} = \sum X_i Y_i - n\bar{X}\bar{Y} = 390 - 5(4)(10) = 190
En Küçük Kareler tahmin edicisinde eğim, kovaryansın varyansa oranını yansıtan bu iki terimin bölümüyle elde edilir.
3
Eğim katsayısını (β^1\hat{\beta}_1) hesaplama
β^1=Sxy/Sxx=190/50=3.8\hat{\beta}_1 = S_{xy} / S_{xx} = 190 / 50 = 3.8
Değişkenler arasındaki doğrusal ilişkinin yönü ve büyüklüğü belirlenir.
4
Sabit terimi (β^0\hat{\beta}_0) hesaplama
β^0=Yˉ−β^1Xˉ=10−3.8(4)=10−15.2=−5.2\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1\bar{X} = 10 - 3.8(4) = 10 - 15.2 = -5.2
EKK prensibine göre elde edilen regresyon doğrusu (Xˉ,Yˉ)(\bar{X}, \bar{Y}) ortalama noktasından geçmek zorundadır.

Anahtar Kavram

En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi ile Basit Doğrusal Regresyon
Bu soruyu puanla

Konular

En Küçük Kareler Yöntemi (Least Squares Estimation)

Bu konudan daha fazla soru