Bir sigorta şirketinin hasar ödeme süreçlerinde, belirli bir poliçe türü için hasar büyükl… — KPSS İstatistik

Bir sigorta şirketinin hasar ödeme süreçlerinde, belirli bir poliçe türü için hasar büyüklüğü indeksi $X$ sürekli rastgele değişkeni ile gösterilmektedir. $X$ değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f_X(x) = \begin{cases} 2e^{-2x}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Aktüeryal bir hesaplama modelinde, risk primini stabilize etmek amacıyla $Y = e^{-X}$ dönüşümü tanımlanmıştır.

Buna göre, yeni tanımlanan $Y$ risk değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ (sıfırdan farklı olduğu aralıkla birlikte) aşağıdakilerden hangisidir?

$2y, \quad 0 < y < 1$ Cevap
B
$2y^2, \quad 0 < y < 1$
C
$-2y, \quad 0 < y < 1$
D
$2y, \quad y > 0$
E
$2y^3, \quad 0 < y < 1$

Cevap

Yeni tanımlanan risk değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu

2y, \quad 0 < y < 1

şeklindedir.

Dönüşüm işlemi için önce ters fonksiyon

x = -\ln y

bulunur. Ardından bu ifadenin türevi alınarak Jakobiyen'in mutlak değeri

\left|-\frac{1}{y}\right| = \frac{1}{y}

elde edilir.

X

'in orijinal tanım aralığı olan

x > 0

eşitsizliğinde

x

yerine

-\ln y

konulduğunda aralığın

0 < y < 1

olduğu görülür. Elde edilen değerler

f_Y(y) = f_X(x) \cdot |J|

formülüne yerleştirildiğinde,

2e^{-2(-\ln y)} \cdot \frac{1}{y} = 2y

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

Dönüşümün ters fonksiyonunu bulma

y = e^{-x} \implies x = -\ln y

Yoğunluk fonksiyonunda

x

değişkenini

y

cinsinden ifade edebilmek için gereklidir.

Yeni değişkenin tanım aralığını belirleme

x > 0

olduğundan,

0 < e^{-x} < 1

eşitsizliği elde edilir. Yani

0 < y < 1

olur.

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun hangi aralıkta sıfırdan farklı tanımlı olduğunu bulmak için sınırların dönüştürülmesi şarttır.

Jakobiyen (ters fonksiyonun türevi) değerini hesaplama

\frac{dx}{dy} = -\frac{1}{y}

olarak türev alınır. Mutlak değeri

\left| \frac{dx}{dy} \right| = \left| -\frac{1}{y} \right| = \frac{1}{y}

olur (çünkü

y > 0

Olasılık kütlesinin korunması için alan/hacim değişim oranını veren Jakobiyen mutlak değeri formüle eklenmelidir.

Tek değişkenli dönüşüm formülünü uygulama

f_Y(y) = f_X(-\ln y) \cdot \left| \frac{dx}{dy} \right| = 2e^{-2(-\ln y)} \cdot \frac{1}{y} = 2e^{\ln(y^2)} \cdot \frac{1}{y} = 2y^2 \cdot \frac{1}{y} = 2y

Belirlenen tüm bileşenler bir araya getirilerek

Y

rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu nihai haline ulaştırılır.

Anahtar Kavram

Tek değişkenli rastgele değişkenlerde,

Y=g(X)

gibi monoton bir dönüşüm uygulandığında olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot \left| \frac{dx}{dy} \right|

kuralı ile elde edilir ve değişkenin aralığı da bu dönüşüme göre güncellenir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular