Examkin

Soru

Zorluk: ZorOlasılık İntegral Dönüşümü

Bir veri analisti, belirli bir algoritmada kullanmak üzere sürekli bir XX rastgele değişkeninin dağılımına uygun sentetik veriler oluşturacaktır. Sisteme tanımlanan rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekildedir:

f(x)={x6,2<x<40,dig˘erf(x) = \begin{cases} \frac{x}{6}, & 2 < x < 4 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Analist, verileri türetmek için olasılık integral dönüşümü (ters dönüşüm) tekniğini kodlamıştır. Algoritmanın rastgele sayı üretecinden çektiği standart düzgün dağılımlı değer u=512u = \frac{5}{12} olarak gerçekleşmiştir.

Buna göre, algoritmanın çıktı olarak vereceği sentetik xx veri noktası kaçtır?

  1. 33Cevap
  2. B
    2.52.5
  3. C
    5\sqrt{5}
  4. D
    −3-3
  5. E
    11

Cevap

Algoritmanın çıktı olarak vereceği sentetik veri noktası 3'tür.
Doğru yanıt olan 33 değeri, XX rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonu F(x)=(x2−4)/12F(x) = (x^2 - 4) / 12 hesaplandıktan sonra bu fonksiyonun verilen u=5/12u = 5/12 değerine eşitlenmesiyle elde edilir. Denklemden çıkan x2=9x^2 = 9 sonucunda, değişkenin 2<x<42 < x < 4 aralığındaki tanımı gereği pozitif olan 33 değeri alınır.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık yoğunluk fonksiyonunun 22 alt sınırından xx'e kadar integrali alınarak birikimli dağılım fonksiyonu F(x)F(x) bulunur.
F(x)=∫2xt6dt=[t212]2x=x2−412F(x) = \int_2^x \frac{t}{6} dt = \left[ \frac{t^2}{12} \right]_2^x = \frac{x^2 - 4}{12}
Ters dönüşüm yöntemi doğrudan PDF üzerinden değil, birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) üzerinden çalışır.
2
Elde edilen F(x)F(x) fonksiyonu, simülasyondan üretilen uu rassal değerine eşitlenir.
x2−412=512\frac{x^2 - 4}{12} = \frac{5}{12}
Olasılık integral dönüşümü teoremine göre X=F−1(U)X = F^{-1}(U) bağıntısı geçerlidir.
3
Elde edilen denklem xx için çözülür ve fonksiyonun tanım aralığına uygun olan kök belirlenir.
x2−4=5  ⟹  x2=9  ⟹  x=3x^2 - 4 = 5 \implies x^2 = 9 \implies x = 3
XX'in tanım aralığı 2<x<42 < x < 4 olduğu için negatif kök olan −3-3 elenir ve geçerli değer 33 olarak onaylanır.

Anahtar Kavram

Olasılık İntegral Dönüşümü (Ters Dönüşüm Yöntemi)
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Olasılık İntegral Dönüşümü

Bu konudan daha fazla soru