Bir kalite kontrol mühendisi, ürettikleri hassas bir sensörün ölçüm sapmalarını sürekli bi… — KPSS İstatistik

Bir kalite kontrol mühendisi, ürettikleri hassas bir sensörün ölçüm sapmalarını sürekli bir $X$ rastgele değişkeni ile modellemektedir. $X$ rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonu olan $F(x)$ , tanımlı olduğu aralıkta kesin artan ve süreklidir.

Mühendis, bu sapmaları standartlaştırmak amacıyla

K

adlı yeni bir performans indeksi tanımlamıştır:

K = 4 \left( F(X) - \frac{1}{2} \right)^2

Buna göre, $K$ performans indeksinin olasılık yoğunluk fonksiyonu ( $f_K(k)$ ), $0 < k < 1$ aralığı için aşağıdakilerden hangisidir?

$f_K(k) = \frac{1}{2\sqrt{k}}$ Cevap
B
$f_K(k) = \frac{1}{4\sqrt{k}}$
C
$f_K(k) = \frac{1}{\sqrt{k}}$
D
$f_K(k) = 1$
E
$f_K(k) = 2k$

Cevap

Doğru yanıt

f_K(k) = \frac{1}{2\sqrt{k}}

fonksiyonunu veren seçenektir.

Olasılık İntegral Dönüşümü teoremine göre

U = F(X)

değişkeni

(0,1)

aralığında Uniform dağılıma sahiptir. İfadeyi

K = (2U-1)^2

şeklinde yazıp

P(K \le k)

birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) araştırıldığında,

U

'nun sınırları

\frac{1-\sqrt{k}}{2} \le U \le \frac{1+\sqrt{k}}{2}

olarak bulunur.

U

'nun dağılımı

(0,1)

aralığında düzgün olduğu için bu bölgenin olasılığı, üst ve alt sınırlar arasındaki uzunluğa, yani

\sqrt{k}

'ya eşittir. Olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmak için

F_K(k) = \sqrt{k}

fonksiyonunun türevi alındığında

f_K(k) = \frac{1}{2\sqrt{k}}

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Olasılık İntegral Dönüşümü teoremini uygulayın.

X

sürekli rastgele değişken olduğundan,

U = F(X)

rastgele değişkeni

(0,1)

aralığında sürekli düzgün (Uniform) dağılıma sahiptir (

U \sim U(0,1)

Teoreme göre her sürekli dağılımın kendi birikimli dağılım fonksiyonundan (CDF) geçirilmesi Uniform(0,1) üretir.

K

indeksini

U

cinsinden ifade edin.

K = 4 \left( U - \frac{1}{2} \right)^2 = \left( 2U - 1 \right)^2

Değişken dönüşüm işlemlerini kolaylaştırmak için ifadeyi tam kare formuna getirmeliyiz.

K

'nın birikimli dağılım fonksiyonunu (CDF)

P(K \le k)

olarak kurup

U

'ya göre eşitsizliği çözün.

P((2U - 1)^2 \le k) \implies -\sqrt{k} \le 2U - 1 \le \sqrt{k} \implies \frac{1 - \sqrt{k}}{2} \le U \le \frac{1 + \sqrt{k}}{2}

Karesel bir dönüşüm (bire-bir olmayan) olduğu için mutlak değer kuralına dikkat ederek

U

'nun alt ve üst sınırlarını belirlemek zorundayız.

U \sim U(0,1)

bilgisini kullanarak CDF değerini hesaplayın.

U

'nun olasılık yoğunluğu

1

olduğu için, bu aralıktaki olasılık üst ve alt sınırın farkıdır:

F_K(k) = \frac{1 + \sqrt{k}}{2} - \frac{1 - \sqrt{k}}{2} = \sqrt{k}

Uniform(0,1) dağılımında

P(a \le U \le b) = b - a

kuralı geçerlidir.

K

'nın olasılık yoğunluk fonksiyonunu (PDF) elde etmek için CDF'nin

k

'ya göre türevini alın.

f_K(k) = \frac{d}{dk} F_K(k) = \frac{d}{dk} (k^{1/2}) = \frac{1}{2} k^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{k}}

Sürekli rastgele değişkenlerde yoğunluk fonksiyonu, birikimli dağılım fonksiyonunun türevidir.

Anahtar Kavram

Olasılık İntegral Dönüşümü ve Bire-bir Olmayan Değişken Dönüşümleri

Alternatif Yöntem

Jakobiyen tekniği kullanılabilir:

k = 4(u-1/2)^2

fonksiyonu

u=1/2

noktasında simetriktir ve iki farklı ters fonksiyonu vardır:

u_1 = \frac{1-\sqrt{k}}{2}

u_2 = \frac{1+\sqrt{k}}{2}

. Her bir dal için Jakobiyen (türevlerin mutlak değeri) hesaplandığında

|du_1/dk| = |du_2/dk| = \frac{1}{4\sqrt{k}}

elde edilir.

f_K(k) = f_U(u_1)|du_1/dk| + f_U(u_2)|du_2/dk|

formülünden

1\cdot\frac{1}{4\sqrt{k}} + 1\cdot\frac{1}{4\sqrt{k}} = \frac{1}{2\sqrt{k}}

doğrudan bulunabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru