Bir yöneylem araştırmacısı, bir tedarik zinciri ağındaki belirli bir teslimatın gecikme sü… — KPSS İstatistik

Bir yöneylem araştırmacısı, bir tedarik zinciri ağındaki belirli bir teslimatın gecikme süresini (gün cinsinden) modelleyen sürekli bir $X$ rastgele değişkeni için aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonunu kullanmaktadır:

f(x) = \begin{cases} 2(1-x), & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Araştırmacı, bir simülasyon çalışması kapsamında, $(0,1)$ aralığında standart düzgün dağılıma sahip bir $U$ rastgele değişkeninden yararlanarak ters dönüşüm (olasılık integral dönüşümü) yöntemiyle $X$ değişkenine ait rassal değerler üretmek istemektedir.

Buna göre, araştırmacının kullanması gereken dönüşüm denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

$1 - \sqrt{1-U}$ Cevap
B
$1 + \sqrt{1-U}$
C
$1 - \frac{U}{2}$
D
$\sqrt{1-U}$
E
$2U - U^2$

Cevap

Araştırmacının kullanması gereken doğru dönüşüm denklemi

1 - \sqrt{1-U}

ifadesidir.

Ters dönüşüm yönteminde, rastgele değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) bulunur ve bu fonksiyon standart düzgün dağılımlı

U

değişkenine eşitlenerek

X

yalnız bırakılır.

f(x) = 2(1-x)

fonksiyonunun

0

'dan

x

'e integrali alındığında

F(x) = 2x - x^2

elde edilir. Dönüşüm gereği

U = 2X - X^2

eşitliği kurularak tam kareye tamamlama yöntemiyle

(X-1)^2 = 1-U

denklemine ulaşılır.

X

'in tanım kümesi

(0,1)

aralığı olduğu için denklemin eksi işaretli kökü olan

X = 1 - \sqrt{1-U}

doğru dönüşüm formülüdür.

Adım Adım Çözüm

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun (PDF) integralini alarak birikimli dağılım fonksiyonunu (CDF) hesaplayın.

F(x) = \int_{0}^{x} 2(1-t) dt = \left[2t - t^2\right]_{0}^{x} = 2x - x^2

Ters dönüşüm yönteminin temeli, rastgele değişkenin CDF'ini

(0,1)

aralığındaki düzgün dağılıma eşitlemektir.

Elde edilen birikimli dağılım fonksiyonunu standart düzgün dağılımlı

U

rastgele değişkenine eşitleyin.

U = 2X - X^2

Olasılık integral dönüşümü teoremine göre

F(X) \sim Uniform(0,1)

'dir.

Oluşan ikinci dereceden denklemde

X

değişkenini yalnız bırakacak şekilde düzenlemeler yapın.

X^2 - 2X + U = 0 \implies X^2 - 2X + 1 = 1 - U \implies (X - 1)^2 = 1 - U

X = F^{-1}(U)

ters fonksiyonunu elde etmek için cebirsel çözüm gereklidir.

Her iki tarafın karekökünü alarak denklemin köklerini bulun ve tanım aralığına uygun olanı seçin.

X - 1 = \pm\sqrt{1-U} \implies X = 1 \pm \sqrt{1-U}

X

'in

0 < X < 1

aralığında tanımlı olması nedeniyle, sonucu

(1,2)

aralığına taşıyacak olan pozitif kök elenmeli,

X = 1 - \sqrt{1-U}

seçilmelidir.

Anahtar Kavram

Ters Dönüşüm (Inverse Transform) Yöntemi ile rassal sayı üretimi, bir değişkenin birikimli dağılım fonksiyonunun (CDF) tersinin alınarak

X = F^{-1}(U)

eşitliğinin kullanılması esasına dayanır.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru