Examkin

Soru

Zorluk: OrtaCramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı
X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele değişkenler olmak üzere, olasılık fonksiyonu
P(X=x)=e−λλxx!,x=0,1,2,…P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}, \quad x = 0, 1, 2, \dots
olan Poisson dağılımından bir rastgele örneklem alınmıştır.

Buna göre, τ(λ)=e−λ\tau(\lambda) = e^{-\lambda} fonksiyonunun yansız bir tahmin edicisi için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. λe−2λn\frac{\lambda e^{-2\lambda}}{n}Cevap
  2. B
    e−2λnλ\frac{e^{-2\lambda}}{n \lambda}
  3. C
    λe−λn\frac{\lambda e^{-\lambda}}{n}
  4. D
    λe−2λ\lambda e^{-2\lambda}
  5. E
    e−λnλ\frac{e^{-\lambda}}{n \lambda}

Cevap

Cramer-Rao alt sınırı λe−2λn\frac{\lambda e^{-2\lambda}}{n} olarak bulunur.
Poisson dağılımında I(λ)=1λI(\lambda) = \frac{1}{\lambda}'dır. nn çaplı örneklem için toplam bilgi nλ\frac{n}{\lambda} olur. Tahmin edilecek olan τ(λ)=e−λ\tau(\lambda) = e^{-\lambda} fonksiyonunun türevi −e−λ-e^{-\lambda}'dir. Cramer-Rao formülü gereği [τ′(λ)]2/In(λ)[\tau'(\lambda)]^2 / I_n(\lambda) hesaplandığında (e−2λ)/(n/λ)=λe−2λn(e^{-2\lambda}) / (n/\lambda) = \frac{\lambda e^{-2\lambda}}{n} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Tek bir gözlem için log-olabilirlik (log-likelihood) fonksiyonunu yaz.
L(λ)=ln⁡P(X=x)=−λ+xln⁡λ−ln⁡(x!)L(\lambda) = \ln P(X=x) = -\lambda + x \ln \lambda - \ln(x!)
Fisher bilgi miktarını hesaplayabilmek için olasılık fonksiyonunun logaritmasına ihtiyacımız vardır.
2
Log-olabilirlik fonksiyonunun parametreye ( λ\lambda ) göre birinci ve ikinci türevlerini alıp, beklenen değeri üzerinden Fisher bilgi miktarını hesapla.
∂L∂λ=−1+xλ\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -1 + \frac{x}{\lambda}
∂2L∂λ2=−xλ2\frac{\partial^2 L}{\partial \lambda^2} = -\frac{x}{\lambda^2}
I(λ)=−E[−Xλ2]=E[X]λ2=λλ2=1λI(\lambda) = -E\left[-\frac{X}{\lambda^2}\right] = \frac{E[X]}{\lambda^2} = \frac{\lambda}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda}
Bir parametrenin Fisher bilgi miktarı, log-olabilirliğin ikinci türevinin beklenen değerinin eksi işaretlisine eşittir.
3
Örneklem hacmini (n) dikkate alarak toplam Fisher bilgi miktarını bul ve tahmin edilecek fonksiyonun ( τ(λ)\tau(\lambda) ) türevini hesapla.
nn gözlem için In(λ)=nλI_n(\lambda) = \frac{n}{\lambda}.
τ(λ)=e−λ  ⟹  τ′(λ)=−e−λ\tau(\lambda) = e^{-\lambda} \implies \tau'(\lambda) = -e^{-\lambda}.
Cramer-Rao alt sınır formülünde In(λ)I_n(\lambda) paydaya, τ′(λ)\tau'(\lambda)'nın karesi ise paya yazılacaktır.
4
Cramer-Rao alt sınırı formülünü uygula.
CRLB=[τ′(λ)]2In(λ)=(−e−λ)2n/λ=e−2λn/λ=λe−2λnCRLB = \frac{[\tau'(\lambda)]^2}{I_n(\lambda)} = \frac{(-e^{-\lambda})^2}{n/\lambda} = \frac{e^{-2\lambda}}{n/\lambda} = \frac{\lambda e^{-2\lambda}}{n}
Yansız bir tahmin edicinin varyansı Cramer-Rao alt sınırından daha küçük olamaz.

Anahtar Kavram

Cramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı
Bu soruyu puanla

Konular

Cramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı

Bu konudan daha fazla soru