Examkin

Soru

Zorluk: ZorCramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı
Olasılık yoğunluk fonksiyonu,
f(x;θ)={θx−(θ+1),x≥10,dig˘er durumlardaf(x; \theta) = \begin{cases} \theta x^{-(\theta+1)}, & x \geq 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}
şeklinde verilen bir dağılımdan nn birimlik rastgele bir örneklem çekilmiştir (θ>1\theta > 1). Bu dağılımın beklenen değerinin μ=θθ−1\mu = \frac{\theta}{\theta-1} olduğu bilinmektedir.

Düzenlilik (regularity) koşullarının sağlandığı varsayımı altında, kitle ortalaması μ\mu'nün herhangi bir yansız tahmin edicisinin varyansı için Cramer-Rao alt sınırı (CRLB) aşağıdakilerden hangisine eşittir?

  1. θ2n(θ−1)4\frac{\theta^2}{n(\theta-1)^4}Cevap
  2. B
    θ2n(θ−1)2\frac{\theta^2}{n(\theta-1)^2}
  3. C
    θ2n\frac{\theta^2}{n}
  4. D
    θn(θ−1)4\frac{\theta}{n(\theta-1)^4}
  5. E
    1nθ2(θ−1)4\frac{1}{n\theta^2(\theta-1)^4}

Cevap

İstenilen tahmin edici için alt sınır θ2n(θ−1)4\frac{\theta^2}{n(\theta-1)^4} ifadesidir.
Verilen dağılım için tek bir gözleme ait Fisher bilgi miktarı I(θ)=1/θ2I(\theta) = 1/\theta^2'dir. Soru, θ\theta'nın değil kitle ortalaması olan μ=θ/(θ−1)\mu = \theta/(\theta-1) ifadesinin yansız bir tahmin edicisinin varyans alt sınırını sormaktadır. Parametrenin bir fonksiyonu olan g(θ)g(\theta) için Cramer-Rao alt sınırı CRLB=[g′(θ)]2/(n⋅I(θ))CRLB = [g'(\theta)]^2 / (n \cdot I(\theta)) formülüyle bulunur. g′(θ)=−1/(θ−1)2g'(\theta) = -1/(\theta-1)^2 olduğundan, karesi 1/(θ−1)41/(\theta-1)^4 yapar. Bu ifade, n⋅(1/θ2)n \cdot (1/\theta^2) değerine bölündüğünde doğru yanıt olan θ2/[n(θ−1)4]\theta^2 / [n(\theta-1)^4] değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Tek bir gözlem için log-olabilirlik fonksiyonunu bulun.
ln⁡f(x;θ)=ln⁡θ−(θ+1)ln⁡x\ln f(x; \theta) = \ln \theta - (\theta+1)\ln x
Fisher bilgi miktarını hesaplamak için olabilirlik fonksiyonunun logaritmasının türevlerine ihtiyacımız vardır.
2
Log-olabilirlik fonksiyonunun θ\theta'ya göre birinci ve ikinci türevlerini alıp Fisher bilgi miktarını hesaplayın.
∂∂θln⁡f=1θ−ln⁡x  ⟹  ∂2∂θ2ln⁡f=−1θ2\frac{\partial}{\partial \theta} \ln f = \frac{1}{\theta} - \ln x \implies \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \ln f = -\frac{1}{\theta^2}. Buradan I(θ)=−E[−1θ2]=1θ2I(\theta) = -E\left[-\frac{1}{\theta^2}\right] = \frac{1}{\theta^2} elde edilir.
CRLB formülünün paydasında yer alan n⋅I(θ)n \cdot I(\theta) ifadesini oluşturmak için birim Fisher bilgisi bulunmalıdır.
3
Tahmin edilecek parametre fonksiyonunu belirleyip θ\theta'ya göre türevini alın.
g(θ)=μ=θθ−1g(\theta) = \mu = \frac{\theta}{\theta-1} olmak üzere, g′(θ)=1⋅(θ−1)−θ⋅1(θ−1)2=−1(θ−1)2g'(\theta) = \frac{1 \cdot (\theta-1) - \theta \cdot 1}{(\theta-1)^2} = -\frac{1}{(\theta-1)^2} olarak bulunur.
Alt sınırı bulurken doğrudan θ\theta'nın değil, bir fonksiyonu olan kitle ortalamasının tahmin edildiği durumlarda türev karesi pay kısmına yazılır.
4
Elde edilen verileri Cramer-Rao alt sınırı formülünde yerine koyun.
CRLB=[g′(θ)]2n⋅I(θ)=(−1(θ−1)2)2n⋅1θ2=1(θ−1)4nθ2=θ2n(θ−1)4CRLB = \frac{[g'(\theta)]^2}{n \cdot I(\theta)} = \frac{\left(-\frac{1}{(\theta-1)^2}\right)^2}{n \cdot \frac{1}{\theta^2}} = \frac{\frac{1}{(\theta-1)^4}}{\frac{n}{\theta^2}} = \frac{\theta^2}{n(\theta-1)^4}
Bu işlem yansız tahmin edicinin sahip olabileceği teorik minimum varyansı (alt sınırı) verir.

Anahtar Kavram

Cramer-Rao Alt Sınırı (Bir Fonksiyon İçin)
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Cramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı

Bu konudan daha fazla soru