Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBağımsız Değişkenlerin Toplamı ve Konvolüsyon (Evrişim)

Bir tarım arazisinin akıllı sulama sisteminde, iki farklı su pompası valfi ardışık olarak çalışmaktadır. Suyun birinci valften geçiş süresi XX (dakika) ve ikinci valften geçiş süresi YY (dakika) rastgele değişkenleri ile modellenmektedir.

XX rastgele değişkeni beklenen değeri 12\frac{1}{2} olan üstel dağılıma, YY rastgele değişkeni ise (0,2)(0, 2) aralığında sürekli düzgün dağılıma sahiptir.

XX ve YY'nin birbirinden bağımsız rastgele değişkenler olduğu bilindiğine göre, suyun sistemden toplam geçiş süresini ifade eden Z=X+YZ = X + Y rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu fZ(z)f_Z(z)'nin 0<z<20 < z < 2 aralığındaki denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 12(1−e−2z)\frac{1}{2}(1 - e^{-2z})Cevap
  2. B
    1−e−2z1 - e^{-2z}
  3. C
    e−2ze^{-2z}
  4. D
    2(1−e−2z)2(1 - e^{-2z})
  5. E
    12e−2z\frac{1}{2}e^{-2z}

Cevap

Toplam geçiş süresi Z'nin verilen aralıktaki olasılık yoğunluk fonksiyonu 12(1−e−2z)\frac{1}{2}(1 - e^{-2z}) denklemine eşittir.
Doğru yanıt, bağımsız iki sürekli rastgele değişkenin toplamı için konvolüsyon integralinin fZ(z)=∫0zfX(x)fY(z−x)dxf_Z(z) = \int_0^z f_X(x) f_Y(z-x) dx formülüyle işletilmesinden elde edilir. Üstel dağılımın fonksiyonu 2e−2x2e^{-2x} ve düzgün dağılımın fonksiyonu 1/21/2'dir. Verilen 0<z<20 < z < 2 aralığı için bu integral hesaplandığında sonuç 12(1−e−2z)\frac{1}{2}(1 - e^{-2z}) olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
XX ve YY rastgele değişkenlerinin olasılık yoğunluk fonksiyonlarını (PDF) belirleme
fX(x)=2e−2xf_X(x) = 2e^{-2x} (x>0x > 0) ve fY(y)=12f_Y(y) = \frac{1}{2} (0<y<20 < y < 2)
XX, ortalaması 1/21/2 olan üstel dağılımdır (λ=1/(1/2)=2\lambda = 1 / (1/2) = 2). YY ise (0,2)(0, 2) aralığında düzgün dağılımdır ve yoğunluğu 1/(2−0)=1/21 / (2-0) = 1/2'dir.
2
Z=X+YZ = X + Y için konvolüsyon (evrişim) integralini kurma
fZ(z)=∫−∞∞fX(x)fY(z−x)dxf_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) dx
İki bağımsız sürekli rastgele değişkenin toplamının olasılık yoğunluk fonksiyonu konvolüsyon integrali yardımıyla bulunur.
3
0<z<20 < z < 2 aralığı için uygun integral sınırlarını tespit etme
fX(x)>0f_X(x) > 0 için x>0x > 0 olmalı, fY(z−x)>0f_Y(z-x) > 0 için 0<z−x<20 < z-x < 2 (yani z−2<x<zz-2 < x < z) olmalıdır. 0<z<20 < z < 2 verildiğinden z−2z-2 değeri negatiftir. Bu nedenle kesişim aralığı 0<x<z0 < x < z olarak belirlenir ve integralin alt sınırı 00, üst sınırı zz olur.
Her iki yoğunluk fonksiyonunun da sıfırdan büyük olduğu geçerli tanım aralığının bulunması gerekir.
4
İntegrali matematiksel olarak ifade etme ve sadeleştirme
∫0z2e−2x⋅12dx=∫0ze−2xdx\int_0^z 2e^{-2x} \cdot \frac{1}{2} dx = \int_0^z e^{-2x} dx
Bulunan fonksiyonlar konvolüsyon formülünde yerine yazılır ve sabit katsayılar sadeleştirilir.
5
Belirli integrali çözme ve alt sınırı uygulama
[−12e−2x]0z=−12e−2z−(−12e0)=12−12e−2z=12(1−e−2z)[ -\frac{1}{2} e^{-2x} ]_0^z = -\frac{1}{2} e^{-2z} - (-\frac{1}{2} e^0) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} e^{-2z} = \frac{1}{2}(1 - e^{-2z})
Üstel fonksiyonun integrali kuralına göre alınır ve x=zx=z ile x=0x=0 sınır değerleri yerine konularak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının (Z = X + Y) olasılık yoğunluk fonksiyonunun konvolüsyon integrali yöntemiyle belirlenmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Bağımsız Değişkenlerin Toplamı ve Konvolüsyon (Evrişim)