Examkin

Soru

Zorluk: KolayBağımsız Değişkenlerin Toplamı ve Konvolüsyon (Evrişim)

Bir kamu kurumunda iki farklı işlem birimi (XX ve YY) bulunmaktadır. Bu birimlerin belirli bir zaman aralığında tamamladıkları işlem sayıları birbirinden bağımsızdır ve olasılık kütle fonksiyonları aşağıda verilmiştir:

- P(X=0)=0,60P(X=0) = 0,60 ve P(X=1)=0,40P(X=1) = 0,40
- P(Y=0)=0,70P(Y=0) = 0,70 ve P(Y=1)=0,30P(Y=1) = 0,30

Buna göre, bu iki birimde tamamlanan toplam işlem sayısının tam olarak 1 olma olasılığı (P(X+Y=1)P(X+Y=1)) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    0,12
  2. B
    0,18
  3. C
    0,28
  4. 0,46Cevap
  5. E
    0,70

Cevap

İki birimde tamamlanan toplam işlem sayısının tam olarak 1 olma olasılığı 0,46'dır.
Bağımsız XX ve YY rastgele değişkenlerinin toplamı olan Z=X+YZ = X + Y için P(Z=1)P(Z=1) olasılığı, XX ve YY'nin toplamı 1'i veren tüm mümkün durumlarının bileşik olasılıklarının toplamıdır. Bu durumda (X=0,Y=1)(X=0, Y=1) ve (X=1,Y=0)(X=1, Y=0) durumları mevcuttur. Bağımsızlık nedeniyle bileşik olasılıklar çarpım şeklinde hesaplanır: (0,60×0,30)+(0,40×0,70)=0,18+0,28=0,46(0,60 \times 0,30) + (0,40 \times 0,70) = 0,18 + 0,28 = 0,46.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam rastgele değişkenini tanımlama
Z=X+YZ = X + Y ve hedef değer Z=1Z = 1 olarak belirlenir.
Soruda iki bağımsız değişkenin toplamının belirli bir değer alma olasılığı sorulmaktadır.
2
Z=1Z = 1 sonucunu veren mümkün (X, Y) ikililerini listeleme
Z=1Z = 1 olması için ya (X=0,Y=1)(X=0, Y=1) ya da (X=1,Y=0)(X=1, Y=0) durumları gerçekleşmelidir.
Değişkenlerin tanımlı olduğu değerler 0 ve 1 olduğundan, toplamın 1 olması bu iki ayrık durumla sınırlıdır.
3
Bağımsızlık varsayımı ile bileşik olasılıkları hesaplama
P(X=0,Y=1)=0,60×0,30=0,18P(X=0, Y=1) = 0,60 \times 0,30 = 0,18 ve P(X=1,Y=0)=0,40×0,70=0,28P(X=1, Y=0) = 0,40 \times 0,70 = 0,28 bulunur.
Değişkenler bağımsız olduğu için ortak olasılık fonksiyonu, marjinal olasılıkların çarpımına eşittir.
4
Ayrık durumların olasılıklarını toplama
0,18+0,28=0,460,18 + 0,28 = 0,46 sonucuna ulaşılır.
Toplam değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu (konvolüsyon), bu bileşik olasılıkların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Bağımsız kesikli rastgele değişkenlerin toplamının dağılımı, bu değişkenlerin olasılık kütle fonksiyonlarının evrişimi (convolution) ile elde edilir.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Bağımsız Değişkenlerin Toplamı ve Konvolüsyon (Evrişim)