Examkin

Soru

Zorluk: ZorBağımsız Değişkenlerin Toplamı ve Konvolüsyon (Evrişim)

Bir finansal portföyde yer alan iki farklı hisse senedinin getiri oranlarına bağlı bir risk göstergesi, XX ve YY rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. XX ve YY birbirinden bağımsız olup olasılık yoğunluk fonksiyonları sırasıyla aşağıdaki gibi verilmiştir:

fX(x)={x2,0<x<20,dig˘erf_X(x) = \begin{cases} \frac{x}{2}, & 0 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}
fY(y)={12,0<y<20,dig˘erf_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & 0 < y < 2 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Buna göre, bu iki risk göstergesinin toplamını ifade eden Z=X+YZ = X + Y rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunun 2≤z<42 \le z < 4 aralığındaki ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    z28\frac{z^2}{8}
  2. B
    z4\frac{z}{4}
  3. 4z−z28\frac{4z - z^2}{8}Cevap
  4. D
    4z−z24\frac{4z - z^2}{4}
  5. E
    12\frac{1}{2}

Cevap

İlgili aralıktaki olasılık yoğunluk fonksiyonu 4z−z28\frac{4z - z^2}{8} ifadesidir.
Bağımsız iki rastgele değişkenin toplamının olasılık yoğunluk fonksiyonu evrişim (konvolüsyon) integrali ile bulunur. Z = X + Y için konvolüsyon integrali fZ(z)=∫fX(x)fY(z−x)dxf_Z(z) = \int f_X(x)f_Y(z-x) dx şeklindedir. İki değişkenin sıfırdan farklı olduğu aralıklar 0<x<20 < x < 2 ve 0<z−x<20 < z-x < 2 eşitsizlikleri ile belirlenir. İkinci eşitsizlik düzenlendiğinde z−2<x<zz-2 < x < z koşulu ortaya çıkar. Soruda bizden istenen 2≤z<42 \le z < 4 aralığı olduğu için, alt sınır z−2z-2, üst sınır ise x'in mutlak üst sınırı olan 22 olacaktır. Buna göre integral ∫z−22(x/2)(1/2)dx\int_{z-2}^2 (x/2)(1/2) dx şeklinde kurulur. Hesaplama yapıldığında 14[x2/2]z−22=(4z−z2)/8\frac{1}{4} [x^2/2]_{z-2}^2 = (4z - z^2)/8 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Z = X + Y için konvolüsyon (evrişim) integralini tanımla.
fZ(z)=∫−∞∞fX(x)fY(z−x)dxf_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)f_Y(z-x) dx
Bağımsız iki sürekli rastgele değişkenin toplamının dağılımı evrişim integrali ile bulunur.
2
XX ve YY'nin tanım kümelerine dayanarak 2≤z<42 \le z < 4 aralığı için integral sınırlarını belirle.
0<x<20 < x < 2 ve 0<z−x<2  ⟹  z−2<x<z0 < z-x < 2 \implies z-2 < x < z. Verilen zz aralığı (z≥2z \ge 2) için alt sınır z−2z-2, üst sınır ise XX'in maksimum değeri olan 22 olmalıdır.
İntegralin sıfırdan farklı değer alabilmesi için hem fX(x)f_X(x) hem de fY(z−x)f_Y(z-x) fonksiyonlarının kendi tanım aralıklarında olması gerekir.
3
Belirlenen sınırlar üzerinden integrali hesapla.
fZ(z)=∫z−22(x2)(12)dx=14∫z−22xdxf_Z(z) = \int_{z-2}^{2} \left(\frac{x}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right) dx = \frac{1}{4} \int_{z-2}^{2} x dx
Yoğunluk fonksiyonlarının çarpımı integre edilerek olasılık yoğunluk fonksiyonuna ulaşılır.
4
Belirli integralin sonucunu zz cinsinden bul.
fZ(z)=14[x22]z−22=18(4−(z−2)2)=18(4−(z2−4z+4))=4z−z28f_Z(z) = \frac{1}{4} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{z-2}^2 = \frac{1}{8} \left( 4 - (z-2)^2 \right) = \frac{1}{8} (4 - (z^2 - 4z + 4)) = \frac{4z - z^2}{8}
Matematiksel işlemler tamamlanarak fonksiyonun son hali elde edilir.

Anahtar Kavram

Sürekli Rastgele Değişkenlerde Konvolüsyon (Evrişim)
Bu soruyu puanla

Konular

Bağımsız Değişkenlerin Toplamı ve Konvolüsyon (Evrişim)