Examkin

Soru

Zorluk: OrtaEn Çok Olabilirlik Yöntemi (Maximum Likelihood Estimation)

Bir kamu kurumu tarafından gerçekleştirilen kalite denetimi kapsamında, bir üretim bandından çıkan ürünlerin her birinin kusurlu olma olasılığı pp olan Bernoulli dağılımına uyduğu kabul edilmektedir. Denetim amacıyla rastgele seçilen nn birimlik bağımsız ve özdeş dağılımlı bir örneklem olan X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n gözlemlerinin aritmetik ortalaması Xˉ\bar{X} olarak hesaplanmıştır. Buna göre, bu ürün grubunun 'kusur oranı' (odds) olarak tanımlanan θ=p1−p\theta = \frac{p}{1-p} parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Xˉ1−Xˉ\frac{\bar{X}}{1-\bar{X}}Cevap
  2. B
    Xˉ\bar{X}
  3. C
    1−XˉXˉ\frac{1-\bar{X}}{\bar{X}}
  4. D
    nXˉn\bar{X}
  5. E
    Xˉn\frac{\bar{X}}{n}

Cevap

En çok olabilirlik tahmin edicilerinin değişmezlik özelliği gereğince, θ=p1−p\theta = \frac{p}{1-p} parametresinin tahmin edicisi Xˉ1−Xˉ\frac{\bar{X}}{1-\bar{X}} olarak bulunur.
Bernoulli dağılımı için pp parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi örneklem ortalaması olan Xˉ\bar{X}'dır. En çok olabilirlik yönteminde, eğer θ^\hat{\theta}, θ\theta için bir MLE ise, g(θ)g(\theta) fonksiyonunun MLE'si de g(θ^)g(\hat{\theta}) olur. Bu nedenle p1−p\frac{p}{1-p} fonksiyonunun MLE'si Xˉ1−Xˉ\frac{\bar{X}}{1-\bar{X}} olacaktır.

Adım Adım Çözüm

1
Bernoulli dağılımı için olabilirlik fonksiyonunun oluşturulması.
L(p)=∏i=1npxi(1−p)1−xi=p∑xi(1−p)n−∑xiL(p) = \prod_{i=1}^{n} p^{x_i}(1-p)^{1-x_i} = p^{\sum x_i} (1-p)^{n-\sum x_i}
Parametre tahminine temel oluşturacak olabilirlik fonksiyonunu belirlemek.
2
Log-olabilirlik fonksiyonunun türevi alınarak pp için en çok olabilirlik tahmin edicisinin bulunması.
ℓ(p)=(∑xi)ln⁡p+(n−∑xi)ln⁡(1−p)⇒dℓdp=0⇒p^=Xˉ\ell(p) = (\sum x_i)\ln p + (n-\sum x_i)\ln(1-p) \Rightarrow \frac{d\ell}{dp} = 0 \Rightarrow \hat{p} = \bar{X}
Ana parametre olan pp için en çok olabilirlik tahmin edicisini (MLE) elde etmek.
3
Değişmezlik (Invariance) özelliğinin uygulanması.
θ^=g(p^)=p^1−p^=Xˉ1−Xˉ\hat{\theta} = g(\hat{p}) = \frac{\hat{p}}{1-\hat{p}} = \frac{\bar{X}}{1-\bar{X}}
Bir parametrenin fonksiyonu olan θ\theta'nın tahmin edicisini, değişmezlik kuralı uyarınca p^\hat{p} cinsinden ifade etmek.

Anahtar Kavram

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Değişmezlik Özelliği
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

En Çok Olabilirlik Yöntemi (Maximum Likelihood Estimation)

Bu konudan daha fazla soru