Examkin

Soru

Zorluk: OrtaEn Çok Olabilirlik Yöntemi (Maximum Likelihood Estimation)

Bir vergi dairesinde mükelleflerin işlem süreleri, ortalaması θ>0\theta > 0 olan bir üstel dağılıma (E[X]=θE[X]=\theta) uygunluk göstermektedir. Bu daireden tesadüfi olarak seçilen nn birimlik bağımsız ve özdeş dağılımlı bir örneklem X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n olarak gözlemlenmiştir. Buna göre, bir işlemin tt dakikadan uzun sürme olasılığı olan P(X>t)P(X > t) ifadesinin en çok olabilirlik (ML) tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. e−t/Xˉe^{-t/\bar{X}}Cevap
  2. B
    1−e−t/Xˉ1 - e^{-t/\bar{X}}
  3. C
    e−tXˉe^{-t \bar{X}}
  4. D
    Xˉe−t\bar{X} e^{-t}
  5. E
    1Xˉe−t/Xˉ\frac{1}{\bar{X}} e^{-t/\bar{X}}

Cevap

İşlemin tt dakikadan uzun sürme olasılığının en çok olabilirlik tahmin edicisi e−t/Xˉe^{-t/\bar{X}} ifadesidir.
Ortalaması θ\theta olan üstel dağılımda θ\theta parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi örneklem ortalaması olan Xˉ\bar{X}'dir. En çok olabilirlik tahmin edicileri değişmezlik özelliğine sahip olduğundan, bir olasılık fonksiyonunun (P(X>t)=e−t/θP(X > t) = e^{-t/\theta}) tahmin edicisi, bilinmeyen parametre yerine onun tahmin edicisinin yazılmasıyla elde edilen e−t/Xˉe^{-t/\bar{X}} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik fonksiyonunu (L(θ)L(\theta)) ve log-olabilirlik fonksiyonunu (l(θ)l(\theta)) oluşturun.
L(θ)=∏i=1n1θe−xi/θ=θ−ne−∑xiθL(\theta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta} e^{-x_i/\theta} = \theta^{-n} e^{-\frac{\sum x_i}{\theta}} ve l(θ)=−nln⁡θ−∑xiθl(\theta) = -n \ln \theta - \frac{\sum x_i}{\theta}
Parametre tahmin edicisini bulmak için tüm gözlemlerin ortak yoğunluk fonksiyonu üzerinden işlem yapılır.
2
Log-olabilirlik fonksiyonunun θ\theta parametresine göre türevini alıp sıfıra eşitleyerek θ^ML\hat{\theta}_{ML} değerini bulun.
ddθl(θ)=−nθ+∑xiθ2=0  ⟹  θ^ML=∑xin=Xˉ\frac{d}{d\theta} l(\theta) = -\frac{n}{\theta} + \frac{\sum x_i}{\theta^2} = 0 \implies \hat{\theta}_{ML} = \frac{\sum x_i}{n} = \bar{X}
En çok olabilirlik tahmin edicisi, olabilirlik fonksiyonunu maksimum yapan değerdir.
3
Tahmin edilmek istenen fonksiyonu (g(θ)=P(X>t)g(\theta) = P(X > t)) belirleyin.
P(X>t)=∫t∞1θe−x/θdx=[−e−x/θ]t∞=e−t/θP(X > t) = \int_{t}^{\infty} \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta} dx = [-e^{-x/\theta}]_t^{\infty} = e^{-t/\theta}
Soruda istenen olasılık değeri, yoğunluk fonksiyonunun tt ile sonsuz arasındaki integralidir.
4
En çok olabilirlik tahmin edicilerinin değişmezlik (invariance) özelliğini uygulayın.
g^(θ)=g(θ^ML)=e−t/Xˉ\hat{g}(\theta) = g(\hat{\theta}_{ML}) = e^{-t/\bar{X}}
Bir parametrenin fonksiyonunun ML tahmin edicisi, o fonksiyonun içine parametrenin kendi ML tahmin edicisinin yazılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Değişmezlik (Invariance) Özelliği

Daha Fazla Pratik

Varyansın (θ2 \theta^2 ) en çok olabilirlik tahmin edicisini bulmak için de benzer şekilde değişmezlik özelliğini kullanarak Xˉ2 \bar{X}^2 sonucuna ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

En Çok Olabilirlik Yöntemi (Maximum Likelihood Estimation)

Bu konudan daha fazla soru