Examkin

Soru

Zorluk: OrtaEn Çok Olabilirlik Yöntemi (Maximum Likelihood Estimation)

Bir sigorta şirketinde, hasar oranlarını modellemek için 0<x<10 < x < 1 aralığında değerler alan X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n bağımsız ve özdeş dağılımlı (i.i.d.) rastgele değişkenlerinden oluşan bir örneklem seçilmiştir. Kitleye ait olasılık yoğunluk fonksiyonu θ>0\theta > 0 bilinmeyen parametresi için aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f(x;θ)=θ(1−x)θ−1f(x; \theta) = \theta (1-x)^{\theta-1}

Araştırmacılar, risk analizi yaparken parametrenin tersi olan g(θ)=1θg(\theta) = \frac{1}{\theta} değerini tahmin etmek istemektedir.

Buna göre, g(θ)g(\theta) fonksiyonunun en çok olabilirlik tahmin edicisi (MLE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    −n∑i=1nln⁡(1−Xi)-\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln(1-X_i)}
  2. B
    1n∑i=1nln⁡(1−Xi)\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln(1-X_i)
  3. −1n∑i=1nln⁡(1−Xi)-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln(1-X_i)Cevap
  4. D
    Xˉ1−Xˉ\frac{\bar{X}}{1-\bar{X}}
  5. E
    −∑i=1nln⁡(1−Xi)-\sum_{i=1}^n \ln(1-X_i)

Cevap

θ\theta parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi bulunup değişmezlik (invariance) özelliği uygulandığında, g(θ)=1θg(\theta) = \frac{1}{\theta}'nın tahmin edicisi −1n∑i=1nln⁡(1−Xi)-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln(1-X_i) olarak elde edilir.
Doğru cevap, log-olabilirlik fonksiyonunun türevi alınıp θ\theta için çözüldükten sonra elde edilen θ^\hat{\theta} tahmin edicisinin, en çok olabilirlik tahmin edicilerinin değişmezlik (invariance) özelliği gereği g(θ)=1/θg(\theta) = 1/\theta fonksiyonunda yerine konmasıyla bulunmuştur. Bu işlem sonucunda tahmin edici −1n∑i=1nln⁡(1−Xi)-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln(1-X_i) olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik (Likelihood) fonksiyonunu yaz.
L(θ)=∏i=1nθ(1−Xi)θ−1=θn∏i=1n(1−Xi)θ−1L(\theta) = \prod_{i=1}^n \theta (1-X_i)^{\theta-1} = \theta^n \prod_{i=1}^n (1-X_i)^{\theta-1}
En çok olabilirlik yönteminde ilk adım, örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu parametrenin bir fonksiyonu olarak ifade etmektir.
2
Log-olabilirlik fonksiyonunu elde et.
ln⁡L(θ)=nln⁡θ+(θ−1)∑i=1nln⁡(1−Xi)\ln L(\theta) = n \ln \theta + (\theta-1) \sum_{i=1}^n \ln(1-X_i)
Çarpım formundaki olabilirlik fonksiyonunun türevini almayı kolaylaştırmak için doğal logaritması alınır.
3
Log-olabilirlik fonksiyonunun θ\theta'ya göre türevini al ve sıfıra eşitle.
∂ln⁡L(θ)∂θ=nθ+∑i=1nln⁡(1−Xi)=0\frac{\partial \ln L(\theta)}{\partial \theta} = \frac{n}{\theta} + \sum_{i=1}^n \ln(1-X_i) = 0
Fonksiyonu maksimum yapan θ\theta değerini bulmak için birinci türev sıfıra eşitlenir.
4
Denklemi çözerek θ\theta'nın en çok olabilirlik tahmin edicisini (MLE) bul.
θ^=−n∑i=1nln⁡(1−Xi)\hat{\theta} = -\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln(1-X_i)}
Türevden elde edilen denklem θ^\hat{\theta} için çözülür.
5
Değişmezlik (invariance) özelliğini kullanarak g(θ)=1/θg(\theta) = 1/\theta için tahmini elde et.
g(θ)^=1θ^=−1n∑i=1nln⁡(1−Xi)\widehat{g(\theta)} = \frac{1}{\hat{\theta}} = -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln(1-X_i)
MLE'nin değişmezlik özelliğine göre, parametrenin bir fonksiyonunun MLE'si, o fonksiyonun içine parametrenin MLE'sinin yazılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicisi (MLE) ve Değişmezlik (Invariance) Özelliği
Bu soruyu puanla

Konular

En Çok Olabilirlik Yöntemi (Maximum Likelihood Estimation)

Bu konudan daha fazla soru