Bir araştırmacı, n gözlemden oluşan bir veri setinde Y bağımlı değişkeni ile bilinen pozit… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, $n$ gözlemden oluşan bir veri setinde $Y$ bağımlı değişkeni ile bilinen pozitif $x$ sabitleri arasındaki ilişkiyi orijinden geçen doğrusal regresyon modeli olan $Y_i = \beta x_i + \epsilon_i \quad (i=1,2,\dots,n)$ denklemi ile tanımlamaktadır.

Bu modelde $\beta$ bilinmeyen bir parametredir. Hata terimleri ( $\epsilon_i$ ) birbirinden bağımsız olup, beklenen değerleri $E(\epsilon_i) = 0$ ve değişen varyanslılık (heteroskedastisite) göstererek varyansları $Var(\epsilon_i) = \sigma^2 x_i$ özelliğine sahiptir.

Araştırmacı, bu model için iki farklı tahmin edici hesaplamaktadır:
1. Sıradan (ağırlıksız) En Küçük Kareler (EKK) tahmin edicisi: $\hat{\beta}_{EKK}$
2. Gauss-Markov teoremi uyarınca bu değişen varyanslı model için elde edilebilecek En İyi Doğrusal Yansız Tahmin Edici (BLUE): $\tilde{\beta}$

Buna göre, sıradan EKK tahmin edicisinin varyansının, BLUE'nun varyansına oranı olan $\frac{Var(\hat{\beta}_{EKK})}{Var(\tilde{\beta})}$ değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A
$1$
B
$\frac{(\sum_{i=1}^n x_i^2)^2}{(\sum_{i=1}^n x_i)(\sum_{i=1}^n x_i^3)}$
$\frac{(\sum_{i=1}^n x_i)(\sum_{i=1}^n x_i^3)}{(\sum_{i=1}^n x_i^2)^2}$ Cevap
D
$\frac{\sum_{i=1}^n x_i^3}{\sum_{i=1}^n x_i \sum_{i=1}^n x_i^2}$
E
$\frac{n \sum_{i=1}^n x_i^3}{(\sum_{i=1}^n x_i^2)^2}$

Cevap

Sıradan EKK varyansının, BLUE varyansına oranı

\frac{(\sum_{i=1}^n x_i)(\sum_{i=1}^n x_i^3)}{(\sum_{i=1}^n x_i^2)^2}

ifadesine eşittir.

Sıradan EKK tahmin edicisi hata kareler toplamını minimize ederek

\hat{\beta}_{EKK} = \frac{\sum x_i Y_i}{\sum x_i^2}

olarak bulunur. Bu tahmin edicinin varyansı heteroskedastik yapı (

Var(\epsilon_i) = \sigma^2 x_i

) dikkate alınarak hesaplandığında

\sigma^2 \frac{\sum x_i^3}{(\sum x_i^2)^2}

olur. Model, Gauss-Markov şartlarını sağlayacak şekilde

\sqrt{x_i}

değerine bölündüğünde elde edilen En İyi Doğrusal Yansız Tahmin Edici (BLUE)

\tilde{\beta} = \frac{\sum Y_i}{\sum x_i}

şeklindedir ve varyansı

\frac{\sigma^2}{\sum x_i}

'dir. Bu iki varyans birbirine oranlandığında doğru ifade olan

\frac{(\sum_{i=1}^n x_i)(\sum_{i=1}^n x_i^3)}{(\sum_{i=1}^n x_i^2)^2}

değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

Sıradan EKK tahmin edicisinin (

\hat{\beta}_{EKK}

) katsayısını türet.

\sum (Y_i - \beta x_i)^2

minimize edilerek

\hat{\beta}_{EKK} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i Y_i}{\sum_{i=1}^n x_i^2}

elde edilir.

Sıradan EKK yöntemi, hata terimlerinin varyans yapısını dikkate almadan doğrudan hata kareler toplamını minimize eder.

Sıradan EKK tahmin edicisinin varyansını hesapla.

Var(\hat{\beta}_{EKK}) = Var\left(\frac{\sum x_i Y_i}{\sum x_i^2}\right) = \frac{\sum x_i^2 Var(Y_i)}{(\sum x_i^2)^2} = \frac{\sum x_i^2 (\sigma^2 x_i)}{(\sum x_i^2)^2} = \sigma^2 \frac{\sum_{i=1}^n x_i^3}{(\sum_{i=1}^n x_i^2)^2}

Var(\sum c_i Y_i) = \sum c_i^2 Var(Y_i)

bağımsızlık kuralı gereğidir ve soruda

Var(Y_i) = Var(\epsilon_i) = \sigma^2 x_i

olarak verilmiştir.

Değişen varyansı (heteroskedastisite) düzeltmek için Gauss-Markov koşullarını sağlayan dönüştürülmüş modeli ve BLUE (

\tilde{\beta}

) tahmin edicisini türet.

Model denklemi

\sqrt{x_i}

'ye bölünür:

\frac{Y_i}{\sqrt{x_i}} = \beta \sqrt{x_i} + \frac{\epsilon_i}{\sqrt{x_i}}

. Yeni varyans

Var\left(\frac{\epsilon_i}{\sqrt{x_i}}\right) = \frac{1}{x_i}\sigma^2 x_i = \sigma^2

sabit olur. Bu modele EKK uygulandığında:

\tilde{\beta} = \frac{\sum (\sqrt{x_i})\left(\frac{Y_i}{\sqrt{x_i}}\right)}{\sum (\sqrt{x_i})^2} = \frac{\sum_{i=1}^n Y_i}{\sum_{i=1}^n x_i}

elde edilir.

Sabit varyans (homoskedastisite) varsayımını sağlamak için Ağırlıklı En Küçük Kareler (WLS) yaklaşımı ile Gauss-Markov teoremine uygun BLUE elde edilmelidir.

BLUE tahmin edicisinin (

\tilde{\beta}

) varyansını hesapla.

Var(\tilde{\beta}) = Var\left(\frac{\sum Y_i}{\sum x_i}\right) = \frac{\sum Var(Y_i)}{(\sum x_i)^2} = \frac{\sum (\sigma^2 x_i)}{(\sum x_i)^2} = \sigma^2 \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{(\sum_{i=1}^n x_i)^2} = \frac{\sigma^2}{\sum_{i=1}^n x_i}

Yeni katsayılar üzerinden klasik varyans operatörü özellikleri uygulanır.

Bulunan varyansların oranını hesapla.

\frac{Var(\hat{\beta}_{EKK})}{Var(\tilde{\beta})} = \frac{\sigma^2 \sum x_i^3 / (\sum x_i^2)^2}{\sigma^2 / \sum x_i} = \frac{(\sum_{i=1}^n x_i)(\sum_{i=1}^n x_i^3)}{(\sum_{i=1}^n x_i^2)^2}

İstenen etkinlik (efficiency) oranı, elde edilen iki varyans değerinin birbirine bölünmesiyle bulunur.

Anahtar Kavram

Değişen varyans (Heteroskedastisite) altında En Küçük Kareler ve BLUE özellikleri

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru