Examkin

Soru

Zorluk: KolayBağımsız Değişkenlerin Toplamı ve Konvolüsyon (Evrişim)

Bir kamu kurumunda iki bağımsız denetçi (XX ve YY) tarafından kontrol edilen evraklardaki hata durumları incelenmektedir. Denetçilerin tek bir evrakta buldukları hata sayılarına (00 veya 11) ilişkin olasılık dağılımları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

DenetçiP(Hata=0)P(\text{Hata} = 0)P(Hata=1)P(\text{Hata} = 1)
Denetçi XX0,400,400,600,60
Denetçi YY0,300,300,700,70

Buna göre, bu iki denetçinin bulduğu toplam hata sayısının (Z=X+YZ = X + Y) tam olarak 11 olma olasılığı kaçtır?

  1. A
    0,12
  2. B
    0,28
  3. C
    0,42
  4. 0,46Cevap
  5. E
    0,88

Cevap

İki bağımsız denetçinin toplam hata sayısının tam olarak 1 olma olasılığı 0,46'dır.
İki bağımsız rastgele değişkenin toplamının olasılığını bulmak için evrişim yöntemi uygulanır. Z=X+Y=1Z = X + Y = 1 olması durumu, {(0,1),(1,0)}\{(0,1), (1,0)\} olaylarının birleşimidir. Değişkenler bağımsız olduğundan, bu olayların olasılıkları P(X=0)P(Y=1)=0,28P(X=0)P(Y=1) = 0,28 ve P(X=1)P(Y=0)=0,18P(X=1)P(Y=0) = 0,18 olarak hesaplanır. Bu iki ayrık durumun toplamı olan 0,460,46 doğru sonucu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam hata sayısının (Z=X+YZ = X + Y) 1 olmasını sağlayan (X,Y)(X, Y) ikililerini belirleyin.
(0,1)(0, 1) ve (1,0)(1, 0) durumları.
Z=1Z=1 olması için ya birinci denetçi 00 ikinci denetçi 11 hata bulmalı, ya da tam tersi gerçekleşmelidir.
2
Değişkenlerin bağımsızlığı ilkesini kullanarak bu durumların olasılıklarını hesaplayın.
P(X=0,Y=1)=0,40×0,70=0,28P(X=0, Y=1) = 0,40 \times 0,70 = 0,28 ve P(X=1,Y=0)=0,60×0,30=0,18P(X=1, Y=0) = 0,60 \times 0,30 = 0,18.
Bağımsız rastgele değişkenlerin ortak olasılığı, marjinal olasılıklarının çarpımına eşittir.
3
Belirlenen ayrık durumların olasılıklarını toplayın.
0,28+0,18=0,460,28 + 0,18 = 0,46.
Evrişim (konvolüsyon) kuralı gereği, toplamın olasılığı bu toplamı veren tüm olası kombinasyonların olasılıkları toplamıdır.

Anahtar Kavram

Bağımsız kesikli rastgele değişkenlerin toplamının dağılımı (Konvolüsyon)
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Bağımsız Değişkenlerin Toplamı ve Konvolüsyon (Evrişim)