Examkin

Soru

Zorluk: ZorCramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı

Bir sigorta şirketine belirli bir haftada gelen trafik kazası hasar ihbarlarının sayısı, bilinmeyen bir λ>0\lambda > 0 parametreli Poisson dağılımına uyan bir XX rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Şirket, rastgele seçilen nn haftalık bir örneklem olan X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n gözlemlerine dayanarak, "herhangi bir haftada hiç hasar ihbarı gelmeme olasılığını" (e−λe^{-\lambda}) tahmin etmek istemektedir.

Buna göre, g(λ)=e−λg(\lambda) = e^{-\lambda} fonksiyonunun herhangi bir yansız tahmin edicisinin varyansı için Cramer-Rao alt sınırı (CRLB) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. λe−2λn\frac{\lambda e^{-2\lambda}}{n}Cevap
  2. B
    e−2λnλ\frac{e^{-2\lambda}}{n\lambda}
  3. C
    λe−λn\frac{\lambda e^{-\lambda}}{n}
  4. D
    λe−2λ\lambda e^{-2\lambda}
  5. E
    e−λnλ\frac{e^{-\lambda}}{n\lambda}

Cevap

Cramer-Rao alt sınırı (CRLB) formülünün parametre fonksiyonları için genelleştirilmiş hali olan [g′(λ)]2n⋅I(λ)\frac{[g'(\lambda)]^2}{n \cdot I(\lambda)} uygulanarak λe−2λn\frac{\lambda e^{-2\lambda}}{n} sonucu bulunur.
Doğru yanıt olan λe−2λn\frac{\lambda e^{-2\lambda}}{n}, Poisson dağılımı için elde edilen tekil Fisher bilgisinin (1/λ1/\lambda) ve tahmin edilecek fonksiyonun türevinin karesinin (e−2λe^{-2\lambda}) genel formüldeki (CRLB=[g′(λ)]2nI(λ)CRLB = \frac{[g'(\lambda)]^2}{n I(\lambda)}) yerlerine doğru olarak yerleştirilmesiyle elde edilir. Paydadaki 1/λ1/\lambda ters çevrilip paya çarpım olarak geçtiği için λ\lambda çarpanı oluşur.

Adım Adım Çözüm

1
Poisson dağılımı için tek bir gözleme ait Fisher bilgi matrisi (I(λ)I(\lambda)) hesaplanır.
f(x;λ)=e−λλxx!f(x;\lambda) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} ⇒ln⁡f(x;λ)=−λ+xln⁡λ−ln⁡(x!)\Rightarrow \ln f(x;\lambda) = -\lambda + x\ln\lambda - \ln(x!). Birinci türev: −1+xλ-1 + \frac{x}{\lambda}. İkinci türev: −xλ2-\frac{x}{\lambda^2}. I(λ)=−E[−Xλ2]=λλ2=1λI(\lambda) = -E\left[-\frac{X}{\lambda^2}\right] = \frac{\lambda}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda}.
CRLB formülünün paydasında kullanılması gereken bilgi miktarına ulaşmak için.
2
Tahmin edilmek istenen g(λ)=e−λg(\lambda) = e^{-\lambda} fonksiyonunun parametreye göre türevi alınır.
g′(λ)=−e−λg'(\lambda) = -e^{-\lambda}. CRLB formülünün pay kısmı için bu değerin karesi alınır: [g′(λ)]2=(−e−λ)2=e−2λ[g'(\lambda)]^2 = (-e^{-\lambda})^2 = e^{-2\lambda}.
Cramer-Rao alt sınırının, bir parametrenin kendisi yerine fonksiyonunun tahmin edilmesi durumundaki payını belirlemek için.
3
Genelleştirilmiş Cramer-Rao alt sınırı formülü uygulanır.
CRLB=[g′(λ)]2n⋅I(λ)=e−2λn⋅(1/λ)=λe−2λnCRLB = \frac{[g'(\lambda)]^2}{n \cdot I(\lambda)} = \frac{e^{-2\lambda}}{n \cdot (1/\lambda)} = \frac{\lambda e^{-2\lambda}}{n}.
nn çaplı örneklem için fonksiyon tahmini yapan yansız tahmin edicinin varyansının alt sınırını nihai olarak bulmak için.

Anahtar Kavram

Cramer-Rao Alt Sınırı (CRLB) - Parametrenin Fonksiyonu
Bu soruyu puanla

Konular

Cramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı

Bu konudan daha fazla soru