Y = X\beta + u şeklinde matris formunda ifade edilen bir çoklu doğrusal regresyon modelind… — KPSS İstatistik

$Y = X\beta + u$ şeklinde matris formunda ifade edilen bir çoklu doğrusal regresyon modelinde, $X$ deterministik (sabit) değerlerden oluşan tam sütun rankına sahip bir matris ve $u$ hata terimleri vektörüdür. Modelin temel varsayımlarından $E(u) = 0$ koşulu sağlanırken, hata terimlerinin varyans-kovaryans matrisinin $E(uu') = \Omega$ olduğu tespit edilmiştir. Burada $\Omega$ , köşegen unsurları birbirinden farklı olan ve/veya köşegen dışı unsurları sıfırdan farklı değerler alabilen, pozitif tanımlı simetrik bir matristir (Yani $E(uu') \neq \sigma^2 I$ ).

Bu durum dikkate alındığında, standart En Küçük Kareler (EKK) tahmin edicisi olan $\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y$ 'nin istatistiksel özellikleri hakkında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Tahmin edici doğrusal ve sapmasız olma özelliklerini korur, ancak Gauss-Markov teoremi uyarınca 'en iyi' (minimum varyanslı/etkin) doğrusal sapmasız tahmin edici olma vasfını yitirir.Cevap
B
Küresel varyans varsayımı ihlal edildiği için Gauss-Markov teoreminin ön koşulları tümüyle ortadan kalkar ve EKK sapmalı (biased) bir tahmin ediciye dönüşür.
C
Modelde değişen varyans veya otokorelasyon problemleri ortaya çıksa da, hata terimlerinin beklenen değeri sıfır olduğu sürece EKK etkin (minimum varyanslı) kalmaya devam eder.
D
Hata terimlerinin bu varyans-kovaryans yapısı, modelde şiddetli çoklu doğrusal bağlantı bulunduğuna işaret eder ve bu durum katsayıların sapmalı sonuçlar vermesine neden olur.
E
Matristeki köşegen dışı elemanların sıfırdan farklı olması modele gereksiz değişkenlerin alındığını (aşırı belirleme) gösterir; bu hata tahmin edicileri doğrudan sapmalı hale getirir.

Cevap

Doğru seçenek, EKK tahmin edicisinin doğrusal ve sapmasız kalacağını, ancak en küçük varyanslı (etkin) olma vasfını yitireceğini belirten ifadedir.

EKK tahmin edicisinin beklentisi hesaplandığında,

E(\hat{\beta}) = \beta + (X'X)^{-1}X'E(u)

eşitliği ortaya çıkar. Soruda

E(u) = 0

olduğu açıkça belirtildiği için tahmin edici mutlak surette sapmasızdır (

\beta

'ya eşittir). Hata terimlerinin varyans-kovaryans matrisinin

\Omega

olması (

E(uu') \neq \sigma^2 I

), hata terimleri arasında değişen varyans (heteroskedastisite) veya ardışık bağımlılık (otokorelasyon) olduğuna işaret eder. Gauss-Markov teoremine göre bu durum, tahmin edicinin 'en küçük varyanslı' (etkin) olma özelliğini ortadan kaldırır. Sonuç olarak EKK doğrusal ve sapmasızdır, ancak artık BLUE (En İyi Doğrusal Sapmasız Tahmin Edici) değildir.

Adım Adım Çözüm

EKK tahmin edicisinin matris denklemini ve parametre formunu yazın.

\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y

denkleminde

Y = X\beta + u

yerine konduğunda,

\hat{\beta} = \beta + (X'X)^{-1}X'u

elde edilir.

Tahmin edicinin özelliklerini inceleyebilmek için hata terimine (

u

) bağlı açık formuna ulaşmak gerekir.

Tahmin edicinin sapmasızlık (unbiasedness) koşulunu test edin.

E(\hat{\beta}) = E(\beta) + (X'X)^{-1}X'E(u)

. Verilenlere göre

E(u) = 0

olduğundan,

E(\hat{\beta}) = \beta + 0 = \beta

bulunur.

Sapmasızlık özelliğinin

\Omega

varyans-kovaryans matrisine değil, yalnızca hata terimlerinin sıfır ortalamasına bağlı olduğunu ispatlamak.

Gauss-Markov teoreminin etkinlik (efficiency) şartını hatırlayın ve

\Omega

matrisi ile karşılaştırın.

EKK'nın kendi sınıfında en küçük varyansa sahip olabilmesi için

E(uu') = \sigma^2 I

olmalıdır. Soru kökünde

E(uu') \neq \sigma^2 I

olduğu belirtilmiştir.

Küresel varyans varsayımının (değişen varyans ve otokorelasyon olmaması) ihlal edildiğini ve bunun doğrudan etkinlik kaybına yol açtığını belirlemek.

Çıkarımları sentezleyerek seçenekleri eleyin.

Tahmin edici kesinlikle sapmasız kalır, ancak etkinliğini kaybeder. Çoklu bağlantı veya aşırı belirleme gibi problemler

u

'nun kovaryansı ile değil,

X

matrisi ile ilgilidir.

İstatistiksel sonuçları netleştirerek yanlış neden-sonuç ilişkisi kuran çeldiricileri doğru tespit edebilmek.

Anahtar Kavram

EKK Varsayımlarının İhlalinde Sapmasızlık ve Etkinlik Ayrımı

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru