Examkin

Soru

Zorluk: ZorEn Çok Olabilirlik Yöntemi (Maximum Likelihood Estimation)

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n bağımsız ve özdeş dağılımlı (i.i.d.) rastgele değişkenler olmak üzere, kitleye ait olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x;θ)={θx−(θ+1),x≥10,dig˘er durumlardaf(x; \theta) = \begin{cases} \theta x^{-(\theta+1)}, & x \ge 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Burada θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametredir.

Buna göre, bu dağılımın medyanının (ortanca değerinin) en çok olabilirlik tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 21n∑i=1nln⁡Xi2^{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln X_i}Cevap
  2. B
    2n∑i=1nln⁡Xi2^{\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i}}
  3. C
    21n∑i=1nXi2^{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i}
  4. D
    e1n∑i=1nln⁡Xie^{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln X_i}
  5. E
    1n∑i=1nln⁡Xi\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln X_i

Cevap

Dağılımın medyanının en çok olabilirlik tahmin edicisi 21n∑i=1nln⁡Xi2^{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln X_i} olmalıdır.
Doğru çözüm için önce θ\theta'nın en çok olabilirlik tahmin edicisi (MLE) bulunur. Log-olabilirlik fonksiyonunun türevi sıfıra eşitlendiğinde θ^=n/∑i=1nln⁡Xi\hat{\theta} = n / \sum_{i=1}^n \ln X_i elde edilir. Daha sonra medyan tanımından hareketle ∫1Mf(x)dx=0.5\int_1^M f(x)dx = 0.5 eşitliği çözülür ve teorik medyan M=21/θM = 2^{1/\theta} olarak bulunur. Değişmezlik (invariance) özelliği uyarınca, θ\theta yerine θ^\hat{\theta} konulduğunda medyanın MLE'si 21n∑i=1nln⁡Xi2^{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln X_i} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklemin olabilirlik fonksiyonunu (L(θ)L(\theta)) ve log-olabilirlik fonksiyonunu (ln⁡L(θ)\ln L(\theta)) oluşturma.
L(θ)=∏i=1nθxi−(θ+1)=θn∏i=1nxi−(θ+1)L(\theta) = \prod_{i=1}^n \theta x_i^{-(\theta+1)} = \theta^n \prod_{i=1}^n x_i^{-(\theta+1)}
ln⁡L(θ)=nln⁡θ−(θ+1)∑i=1nln⁡xi\ln L(\theta) = n \ln \theta - (\theta+1) \sum_{i=1}^n \ln x_i
En çok olabilirlik tahmin edicisini bulmak için fonksiyonun logaritmasını alarak türev işlemini kolaylaştırmak.
2
Log-olabilirlik fonksiyonunun θ\theta'ya göre türevini alıp sıfıra eşitleme.
∂ln⁡L(θ)∂θ=nθ−∑i=1nln⁡xi=0  ⟹  θ^=n∑i=1nln⁡xi\frac{\partial \ln L(\theta)}{\partial \theta} = \frac{n}{\theta} - \sum_{i=1}^n \ln x_i = 0 \implies \hat{\theta} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln x_i}
Fonksiyonu maksimum yapan θ\theta değerini (θ^\hat{\theta}) bulmak.
3
Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonunu kullanarak dağılımın teorik medyanını (MM) hesaplama.
∫1Mθx−(θ+1)dx=0.5  ⟹  [−x−θ]1M=1−M−θ=0.5  ⟹  Mθ=2  ⟹  M=21/θ\int_1^M \theta x^{-(\theta+1)} dx = 0.5 \implies \left[ -x^{-\theta} \right]_1^M = 1 - M^{-\theta} = 0.5 \implies M^\theta = 2 \implies M = 2^{1/\theta}
Medyan, birikimli olasılık fonksiyonunun (CDF) 0.5'e eşit olduğu değerdir.
4
En çok olabilirlik tahmin edicilerinin değişmezlik (invariance) özelliğini uygulama.
M^=21/θ^=2∑i=1nln⁡Xin=21n∑i=1nln⁡Xi\hat{M} = 2^{1/\hat{\theta}} = 2^{\frac{\sum_{i=1}^n \ln X_i}{n}} = 2^{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln X_i}
Bir τ(θ)\tau(\theta) fonksiyonunun MLE'si, θ^\hat{\theta} kullanılarak τ(θ^)\tau(\hat{\theta}) şeklinde elde edilir.

Anahtar Kavram

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinde Değişmezlik Özelliği (Invariance Property)
Bu soruyu puanla

Konular

En Çok Olabilirlik Yöntemi (Maximum Likelihood Estimation)

Bu konudan daha fazla soru