Bir uygulamalı istatistik çalışmasında, Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i şeklin… — KPSS İstatistik

Bir uygulamalı istatistik çalışmasında, $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i$ şeklinde tanımlanan basit doğrusal regresyon modeli incelenmektedir. Veri setinde $X_i$ değerleri sabit (non-stokastik) olup tüm $X_i$ değerleri birbirine eşit değildir. Hata terimleri ( $\varepsilon_i$ ) için beklenen değerin sıfır ( $E(\varepsilon_i)=0$ ), varyansın sabit ( $Var(\varepsilon_i)=\sigma^2$ ) ve ardışık hata terimleri arasındaki kovaryansın sıfır ( $Cov(\varepsilon_i, \varepsilon_j)=0, \ i \neq j$ ) olduğu varsayımları eksiksiz sağlanmaktadır. Bununla birlikte, veri setinin hacmi çok küçüktür ( $n=12$ ) ve hata terimlerinin normal dağılıma sahip olmadığı kesin olarak bilinmektedir.

Bu modelde En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle elde edilen tahmin ediciler ( $\hat{\beta}_0, \hat{\beta}_1$ ) ve istatistiksel çıkarım süreci ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

EKK tahmin edicileri doğrusal, tarafsız ve en küçük varyanslı (BLUE) olma özelliklerini sürdürür; ancak standart $t$ ve $F$ testleri küçük örneklemde geçerliliğini yitirir.Cevap
B
Hata terimlerinin normallik varsayımı ihlal edildiğinden, EKK tahmin edicileri tarafsızlık özelliğini kaybeder ve Gauss-Markov teoremi geçersiz hale gelir.
C
Tahmin ediciler BLUE özelliklerini korusa da, normallik eksikliğinden dolayı güven aralıkları kesin olarak daralır ve hipotez testlerinde I. tip hata yapma olasılığı azalır.
D
Hata terimleri normal dağılmadığı için, modelin açıklayıcılık gücünü gösteren standart $R^2$ istatistiği yapay olarak şişer ve düzeltilmiş $R^2$ kullanılması zorunlu olur.
E
$X_i$ değerlerinin stokastik olmaması, EKK formüllerindeki deterministik ağırlıkları geçersiz kılarak tahmin edicilerin doğrusal olma özelliğini ortadan kaldırır.

Cevap

Doğru yanıt, tahmin edicilerin BLUE özelliklerini koruduğunu, fakat küçük örneklem çapında standart hipotez testlerinin geçerliliğini yitirdiğini ifade eden seçenektir.

Gauss-Markov teoremine göre, hata terimlerinin beklenen değerinin sıfır, varyansının sabit olması ve ardışık hatalar arasında korelasyon bulunmaması durumunda (açıklayıcı değişken de stokastik değilse) EKK tahmin edicileri En İyi Doğrusal Tarafsız Tahmin Edici (BLUE) olma özelliğine sahiptir. Bu teorem, hata terimlerinin dağılımının normal olmasını şart koşmaz, dolayısıyla tahmin ediciler BLUE özelliklerini korur. Ancak istatistiksel hipotez testlerinin (

t

F

testleri) ve güven aralıklarının küçük örneklemlerde geçerli olabilmesi için hata terimlerinin normal dağılması zorunludur. Merkezi Limit Teoremi'nin işleyebilmesi için örneklem çapının yeterince büyük olması gerektiğinden, çok küçük bir örneklemde (

n=12

) normallik eksikliği, test istatistiklerinin teorik dağılımlarının bilinmemesine yol açar ve standart testleri tamamen geçersiz kılar.

Adım Adım Çözüm

Gauss-Markov teoreminin koşullarını ve sonuçlarını analiz et.

EKK tahmin edicilerinin doğrusal, tarafsız ve en küçük varyanslı (BLUE) olabilmesi için modelin doğrusal olması,

E(\varepsilon_i)=0

Var(\varepsilon_i)=\sigma^2

Cov(\varepsilon_i, \varepsilon_j)=0

ve açıklayıcı değişkenin sabit olması yeterlidir.

Normallik varsayımının Gauss-Markov teoreminin bir parçası olmadığını belirlemek için.

Normallik varsayımının istatistiksel çıkarım üzerindeki rolünü değerlendir.

Normallik varsayımı, parametre tahmin edicilerinin ve dolayısıyla

t

F

istatistiklerinin küçük örneklemlerdeki kesin teorik dağılımlarının elde edilebilmesi için gereklidir.

Normallik eksikliğinin hangi istatistiksel sonuçları doğrudan etkilediğini ayırt etmek için.

Örneklem çapının (

n=12

) analiz üzerindeki etkisini dikkate al.

Örneklem çapı çok küçük olduğu için Merkezi Limit Teoremi asimptotik olarak devreye giremez, bu nedenle standart testler geçersiz olur.

Eğer örneklem büyük olsaydı normallik ihlal edilse dahi asimptotik özellikler kullanılabilecekti; sorudaki kısıtı kesinleştirmek için.

Anahtar Kavram

Basit Doğrusal Regresyon Modeli Varsayımları ve Gauss-Markov Teoremi

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru