Bir kitleden alınan X_1, X_2, \dots, X_n bağımsız tesadüfi değişkenlerinin olasılık yoğunluk fonksiyonu x \geq \theta ve \theta > 0 için f(x; \theta) = e^{-(x-\theta)} olarak verilmiştir. H_0: \theta \leq \theta_0 yokluk hipotezine karşı H_1: \theta > \theta_0 alternatif hipotezini test etmek amacıy

Bir kitleden alınan X_1, X_2, \dots, X_n bağımsız tesadüfi değişkenlerinin olasılık yoğunl… — KPSS İstatistik

Bir kitleden alınan

X_1, X_2, \dots, X_n

bağımsız tesadüfi değişkenlerinin olasılık yoğunluk fonksiyonu

x \geq \theta

\theta > 0

için

f(x; \theta) = e^{-(x-\theta)}

olarak verilmiştir.

H_0: \theta \leq \theta_0

yokluk hipotezine karşı

H_1: \theta > \theta_0

alternatif hipotezini test etmek amacıyla oluşturulacak

\alpha

anlamlılık düzeyindeki Düzgün En Güçlü (UMP) testin kritik bölgesi (red bölgesi) aşağıdakilerden hangisidir?

En küçük gözlem değerinin (birinci sıra istatistiğinin) belirlenen bir kritik değerden büyük olduğu

X_{(1)} > c

bölgesi.

Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu, kayma (location) parametreli bir dağılımdır ve olabilirlik fonksiyonu incelendiğinde

X_{(1)} = \min(X_i)

istatistiğinin yeterli olduğu görülür. Olabilirlik oranı

R(x) = L(\theta_2)/L(\theta_1)

ifadesi

\theta_2 > \theta_1

için

X_{(1)}

değerine göre artan bir fonksiyondur. Karlin-Rubin teoremi uyarınca,

H_1: \theta > \theta_0

gibi sağ yönlü bir alternatif için UMP testinin reddetme bölgesi

T(x) > c

formunda olmalıdır; dolayısıyla doğru cevap en küçük gözlem değerinin kritik bir eşiği aştığı bölgedir.

Olabilirlik fonksiyonunu yazın.

L(\theta) = \prod_{i=1}^n e^{-(x_i-\theta)} I(x_i \geq \theta) = e^{n\theta - \sum x_i} I(x_{(1)} \geq \theta)

Test istatistiğini ve yeterli istatistiği belirlemek için tüm örneklemin ortak dağılımına ihtiyaç duyulur.

Olabilirlik oranını (LR) belirleyerek Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) özelliğini inceleyin.

\theta_2 > \theta_1

için

R(x) = \frac{L(\theta_2)}{L(\theta_1)} = e^{n(\theta_2-\theta_1)} \frac{I(x_{(1)} \geq \theta_2)}{I(x_{(1)} \geq \theta_1)}

. Bu oran

x_{(1)}

arttıkça azalmayan (monoton artan) bir yapıdadır.

Karlin-Rubin Teoremi uyarınca, bir dağılım bir istatistiğe göre MLR özelliğine sahipse tek yönlü hipotezler için UMP testi mevcuttur.

Alternatif hipotezin yönüne göre kritik bölgeyi formüle edin.

H_1: \theta > \theta_0

olduğundan,

T(x) = X_{(1)}

istatistiğinin büyük değerleri için

H_0

reddedilir:

X_{(1)} > c

Artan bir olabilirlik oranında, parametrenin büyük değerlerini destekleyen alternatifler için test istatistiğinin de büyük değerleri seçilir.

Karlin-Rubin Teoremi ve Kayma Parametreli Dağılımlarda MLR

Neyman-Pearson Lemması kullanılarak basit hipotezler (

H_0: \theta = \theta_0

H_1: \theta = \theta_1 > \theta_0

) için En Güçlü (MP) test bulunur. Bulunan test

\theta_1

'den bağımsız ise bu test tüm

\theta > \theta_0

değerleri için Düzgün En Güçlüdür (UMP).

Tahmini Süre:1m 40s