Examkin

Soru

Zorluk: KolayTahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

θ\theta parametresini tahmin etmek amacıyla kullanılan bir θ^n\hat{\theta}_n tahmin edicisinin hata kareler ortalaması (MSEMSE) şu şekilde tanımlanmıştır:

MSE(θ^n)=E[(θ^n−θ)2]MSE(\hat{\theta}_n) = E[(\hat{\theta}_n - \theta)^2]

Örneklem hacmi nn sonsuza giderken, bu tahmin edicinin hata kareler ortalamasının limitinin sıfır olduğu (lim⁡n→∞MSE(θ^n)=0{\lim_{n \to \infty} MSE(\hat{\theta}_n) = 0}) bilinmektedir. Buna göre θ^n\hat{\theta}_n tahmin edicisi θ\theta parametresi için aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Tutarlı bir tahmin edicidirCevap
  2. B
    Yansız bir tahmin edicidir
  3. C
    Yeterli bir tahmin edicidir
  4. D
    Etkin bir tahmin edicidir
  5. E
    Tam bir tahmin edicidir

Cevap

Hata kareler ortalaması (MSE) sıfıra giden tahmin ediciler tutarlı tahmin edicilerdir.
Doğru cevap olan ifade tutarlılık (consistency) özelliğini tanımlar. İstatistik teorisinde, bir tahmin edicinin hata kareler ortalaması (MSE) n sonsuza giderken sıfıra yaklaşıyorsa, bu tahmin edici ilgili parametreye olasılıkta yakınsar. Bu durum, tahmin edicinin tutarlı olduğunun bir kanıtıdır ve yeterli bir koşul olarak kabul edilir.

Adım Adım Çözüm

1
MSE formülünü bileşenlerine ayırın
MSE(θ^n)=Var(θ^n)+[Yan(θ^n)]2MSE(\hat{\theta}_n) = Var(\hat{\theta}_n) + [Yan(\hat{\theta}_n)]^2
Hata kareler ortalaması, varyans ve yan miktarının karesinin toplamına eşittir.
2
Verilen limiti analiz edin
lim⁡n→∞MSE(θ^n)=0  ⟹  lim⁡n→∞Var(θ^n)=0 ve lim⁡n→∞Yan(θ^n)=0\lim_{n \to \infty} MSE(\hat{\theta}_n) = 0 \implies \lim_{n \to \infty} Var(\hat{\theta}_n) = 0 \text{ ve } \lim_{n \to \infty} Yan(\hat{\theta}_n) = 0
Toplamın sıfıra gitmesi için her iki pozitif bileşenin de limitinin sıfır olması gerekir.
3
Tutarlılık tanımıyla ilişkilendirin
P(∣θ^n−θ∣>ϵ)→0 (Olasılıkta yakınsama)P(|\hat{\theta}_n - \theta| > \epsilon) \to 0 \text{ (Olasılıkta yakınsama)}
Varyansın ve yanın limitinin sıfır olması (MSE'nin sıfıra gitmesi), tahmin edicinin parametreye olasılıkta yakınsadığını gösterir ve bu durum tutarlılık olarak adlandırılır.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalamasının (MSE) limitinin sıfıra gitmesi tutarlılık için yeter koşuldur.

İpuçları

1
Hata kareler ortalaması varyans ve yan miktarının karesinin toplamıdır.
2
Bir tahmin edicinin parametreye 'yakınsaması' durumuna ne ad verilir?

Daha Fazla Pratik

Farklı yanlılık ve varyans yapılarına sahip tahmin edicilerin tutarlılık durumlarını asimptotik olarak inceleyin.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

Bu konudan daha fazla soru