Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

Bir araştırmacı, bir çağrı merkezine belirli bir zaman aralığında gelen çağrı sayısını modellemek için Poisson dağılımını kullanmaktadır. Süreçteki hiç çağrı gelmeme olasılığı olan θ=e−λ\theta = e^{-\lambda} parametresini tahmin etmek amacıyla, nn çaplı rastgele örneklemin ortalaması olan Xˉ\bar{X} kullanılarak Tn=e−XˉT_n = e^{-\bar{X}} tahmin edicisi önerilmiştir.

Buna göre, TnT_n tahmin edicisinin yansızlık ve tutarlılık özellikleri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. A
    TnT_n, θ\theta için yansız ancak tutarsız bir tahmin edicidir.
  2. B
    TnT_n, θ\theta için hem yansız hem de tutarlı bir tahmin edicidir.
  3. TnT_n, θ\theta için yanlı ancak tutarlı bir tahmin edicidir.Cevap
  4. D
    TnT_n, θ\theta için yanlı ve tutarsız bir tahmin edicidir.
  5. E
    TnT_n'nin tutarlı olabilmesi için yansızlık şartı zorunlu olduğundan TnT_n tutarsızdır.

Cevap

TnT_n, θ\theta için yanlı ancak tutarlı bir tahmin edicidir.
Doğru yanıt, tahmin edicinin yanlı ancak tutarlı olduğunu ifade eden seçenektir. Yansızlık analizi yapıldığında, e−xe^{-x} dışbükey bir fonksiyon olduğu için Jensen eşitsizliği gereği E[e−Xˉ]>e−E[Xˉ]=e−λE[e^{-\bar{X}}] > e^{-E[\bar{X}]} = e^{-\lambda} olur, dolayısıyla tahmin edici yanlıdır. Ancak tutarlılık açısından bakıldığında; örneklem ortalaması Xˉ\bar{X}, kitle ortalaması λ\lambda için tutarlı bir tahmin edicidir (Zayıf Büyük Sayılar Yasası). e−xe^{-x} sürekli bir fonksiyon olduğundan, sürekli dönüşüm teoremi (continuous mapping theorem) gereğince e−Xˉe^{-\bar{X}} de e−λe^{-\lambda} için tutarlı bir tahmin edicidir.

Adım Adım Çözüm

1
Yansızlık durumunu Jensen eşitsizliği kullanarak analiz etme
g(x)=e−xg(x) = e^{-x} fonksiyonu kesin dışbükey (strictly convex) bir fonksiyondur. Jensen eşitsizliğine göre E[g(X)]>g(E[X])E[g(X)] > g(E[X]) olur. Dolayısıyla E[e−Xˉ]>e−E[Xˉ]=e−λE[e^{-\bar{X}}] > e^{-E[\bar{X}]} = e^{-\lambda}'dır.
Bir tahmin edicinin fonksiyonunun beklenen değerinin, fonksiyonun beklenen değerine eşit olup olmadığını test etmek için dışbükeylik analizi yapılmalıdır. Eşitlik sağlanmadığı için TnT_n yanlı bir tahmin edicidir.
2
Tutarlılık durumunu sürekli dönüşüm teoremi (Continuous Mapping Theorem) ile inceleme
Zayıf Büyük Sayılar Yasası'na göre Xˉ→pλ\bar{X} \xrightarrow{p} \lambda'dır. g(x)=e−xg(x) = e^{-x} sürekli bir fonksiyon olduğundan, e−Xˉ→pe−λe^{-\bar{X}} \xrightarrow{p} e^{-\lambda} gerçekleşir.
Olasılıkta yakınsama özelliği, sürekli fonksiyonlar altında korunur. Bu durum TnT_n'nin θ\theta için tutarlı bir tahmin edici olduğunu kanıtlar.
3
Elde edilen sonuçları birleştirme
TnT_n, küçük örneklemlerde yanlı bir tahmin edici olmasına rağmen, örneklem çapı sonsuza giderken gerçek parametre değerine olasılıkta yakınsadığı için tutarlıdır.
Yansızlık ve tutarlılık birbirinden farklı kavramlardır; yanlı bir tahmin edici pekâlâ tutarlı olabilir.

Anahtar Kavram

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency) ve Jensen Eşitsizliği
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

Bu konudan daha fazla soru