Examkin

Soru

Zorluk: OrtaEn Çok Olabilirlik Yöntemi (Maximum Likelihood Estimation)

Bir metroloji laboratuvarında test edilen yeni nesil bir lazer sensörünün sıfır noktasına göre yaptığı ölçüm hatalarının, ortalaması 00 ve varyansı σ2\sigma^2 olan normal dağılıma uyduğu varsayılmaktadır. Bu sensör ile yapılan nn adet bağımsız ve özdeş dağılımlı (i.i.d.) ölçüme ait hata değerleri X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n (Xi∈RX_i \in \mathbb{R}) olarak kaydedilmiştir.

Dağılımın parametresi σ>0\sigma > 0 olduğuna göre, ölçüm hatalarının standart sapmasının (σ\sigma) en çok olabilirlik tahmin edicisi (MLE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 1n∑i=1nXi2\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2}Cevap
  2. B
    1n∑i=1nXi2\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2
  3. C
    1n−1∑i=1nXi2\sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n X_i^2}
  4. D
    2n∑i=1nXi2\sqrt{\frac{2}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2}
  5. E
    12n∑i=1nXi2\sqrt{\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n X_i^2}

Cevap

Standart sapmanın en çok olabilirlik tahmin edicisi 1n∑i=1nXi2\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2} formülü ile elde edilir.
Verilen sıfır ortalamalı normal dağılım için log-olabilirlik fonksiyonu oluşturulup varyansa (σ2\sigma^2) göre türev alındığında, varyansın MLE'si 1n∑Xi2\frac{1}{n} \sum X_i^2 olarak bulunur. Soruda standart sapma (σ\sigma) istendiği için, MLE'nin değişmezlik (invariance) kuralı uygulanarak bu varyans değerinin karekökü alınır ve doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kitle dağılımının olabilirlik (likelihood) ve log-olabilirlik fonksiyonlarını yazın.
L(σ2)=(2πσ2)−n/2e−12σ2∑Xi2L(\sigma^2) = (2\pi\sigma^2)^{-n/2} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}\sum X_i^2}
ln⁡L(σ2)=−n2ln⁡(2π)−n2ln⁡(σ2)−12σ2∑Xi2\ln L(\sigma^2) = -\frac{n}{2}\ln(2\pi) - \frac{n}{2}\ln(\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2}\sum X_i^2
En çok olabilirlik tahmin edicisini bulmak için öncelikle fonksiyonun logaritması alınarak çarpım durumu toplama dönüştürülür ve türev alma işlemi kolaylaştırılır.
2
Log-olabilirlik fonksiyonunun σ2\sigma^2'ye göre birinci türevini alın ve sıfıra eşitleyin.
dd(σ2)ln⁡L(σ2)=−n2σ2+12(σ2)2∑Xi2=0\frac{d}{d(\sigma^2)} \ln L(\sigma^2) = -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2}\sum X_i^2 = 0
Fonksiyonun maksimum noktasını bulmak için birinci türev sıfıra eşitlenmelidir.
3
Denklemi çözerek varyansın (σ2\sigma^2) en çok olabilirlik tahmin edicisini bulun.
n2σ2=12σ4∑Xi2  ⟹  σ2^MLE=1n∑i=1nXi2\frac{n}{2\sigma^2} = \frac{1}{2\sigma^4}\sum X_i^2 \implies \widehat{\sigma^2}_{MLE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2
Bu adımda varyans parametresinin tahmin edicisi elde edilmiş olur.
4
En çok olabilirlik tahmin edicilerinin değişmezlik (invariance) özelliğini kullanarak standart sapmanın (σ\sigma) tahmin edicisini bulun.
σ^MLE=σ2^MLE=1n∑i=1nXi2\hat{\sigma}_{MLE} = \sqrt{\widehat{\sigma^2}_{MLE}} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2}
Değişmezlik özelliği gereği, bir parametrenin fonksiyonunun MLE'si, o parametrenin MLE'sinin aynı fonksiyona sokulmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

En Çok Olabilirlik Yöntemi ve Değişmezlik (Invariance) Özelliği
Bu soruyu puanla

Konular

En Çok Olabilirlik Yöntemi (Maximum Likelihood Estimation)

Bu konudan daha fazla soru