Examkin

Soru

Zorluk: KolayCramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı

Bir kitlenin olasılık yoğunluk fonksiyonu θ>0\theta > 0 parametresi ile f(x;θ)=θe−θx,x>0f(x; \theta) = \theta e^{-\theta x}, \quad x > 0 olarak tanımlanmıştır. Buna göre, bu dağılıma sahip tek bir gözlem için Fisher bilgi miktarı I(θ)I(\theta) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 1θ2\frac{1}{\theta^2}Cevap
  2. B
    1θ\frac{1}{\theta}
  3. C
    θ2\theta^2
  4. D
    nθ2\frac{n}{\theta^2}
  5. E
    θ\theta

Cevap

Verilen üstel dağılım için tek bir gözleme ait Fisher bilgi miktarı 1/θ21/\theta^2 olarak hesaplanır.
Verilen üstel dağılımın logaritması alındığında ln⁡θ−θx\ln \theta - \theta x elde edilir. Bu ifadenin θ\theta parametresine göre iki kez türevi alındığında −1/θ2-1/\theta^2 sonucuna ulaşılır. Fisher bilgi miktarının tanımı gereği, bu değerin negatif beklenen değeri olan 1/θ21/\theta^2 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Tek bir gözlem için olasılık yoğunluk fonksiyonunun doğal logaritması (log-olabilirlik) alınır.
ln⁡f(x;θ)=ln⁡θ−θx\ln f(x; \theta) = \ln \theta - \theta x
Fisher bilgi miktarını hesaplamak için log-olabilirlik fonksiyonu üzerinden türev alınması gerekir.
2
Log-olabilirlik fonksiyonunun θ\theta parametresine göre birinci türevi alınır.
∂ln⁡f(x;θ)∂θ=1θ−x\frac{\partial \ln f(x; \theta)}{\partial \theta} = \frac{1}{\theta} - x
İkinci türeve ulaşmak için önce birinci türev (skor fonksiyonu) hesaplanmalıdır.
3
Elde edilen ifadenin θ\theta parametresine göre ikinci türevi alınır.
∂2ln⁡f(x;θ)∂θ2=−1θ2\frac{\partial^2 \ln f(x; \theta)}{\partial \theta^2} = -\frac{1}{\theta^2}
Fisher bilgisi, ikinci türevin beklenen değerine bağlıdır.
4
İkinci türevin negatif beklenen değeri alınarak Fisher bilgi miktarı bulunur.
I(θ)=−E[−1θ2]=1θ2I(\theta) = -E\left[-\frac{1}{\theta^2}\right] = \frac{1}{\theta^2}
Fisher bilgi miktarının tanımı gereği ikinci türevin negatif beklenen değeri hesaplanır. İfade sabit olduğundan beklenen değer kendisine eşittir.

Anahtar Kavram

Fisher Bilgi Miktarı (Fisher Information)

Alternatif Yöntem

Fisher bilgi miktarı aynı zamanda birinci türevin varyansı (Var[1/θ−X]Var[1/\theta - X]) olarak da hesaplanabilir. Burada Var(X)=1/θ2Var(X) = 1/\theta^2 olduğu bilindiğinden sonuç doğrudan bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Cramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı

Bu konudan daha fazla soru