Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDüzgün En Güçlü (UMP) Testler

Bir araştırmacı, başarı olasılığı θ\theta olan bir Bernoulli dağılımından nn birimlik bağımsız ve tesadüfi bir örneklem seçmiştir. H0:θ≤θ0H_0: \theta \leq \theta_0 hipotezine karşı H1:θ>θ0H_1: \theta > \theta_0 alternatif hipotezinin test edilmesi planlanmaktadır.

Düzgün En Güçlü (UMP) test teorisi çerçevesinde, bu test süreciyle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

  1. A
    Bernoulli dağılımı üstel aileye mensuptur ve ∑Xi\sum X_i yeterli istatistiğine göre Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) özelliğine sahiptir.
  2. B
    Karlin-Rubin teoremi uyarınca, bu tek yönlü hipotez kurgusu için bir UMP testi mevcuttur.
  3. C
    UMP testinin kritik bölgesi, kk bir sabit olmak üzere ∑Xi>k\sum X_i > k formundadır.
  4. Eğer alternatif hipotez H1:θ≠θ0H_1: \theta \neq \theta_0 şeklinde çift yönlü olsaydı, MLR özelliği sayesinde her zaman bir UMP testi inşa edilebilirdi.Cevap
  5. E
    Basit bir hipotezin basit bir alternatif hipoteze karşı (H0:θ=θ0H_0: \theta = \theta_0 vs H1:θ=θ1H_1: \theta = \theta_1) testinde en güçlü test, Neyman-Pearson Lemması ile belirlenir.

Cevap

Çift yönlü alternatif hipotezler için her zaman bir UMP testi inşa edilebileceğini savunan ifade yanlıştır.
Çift yönlü alternatif hipotez kurgusunda (H1:θ≠θ0H_1: \theta \neq \theta_0), parametrenin θ0\theta_0'dan büyük olduğu değerler için en güçlü olan test ile θ0\theta_0'dan küçük olduğu değerler için en güçlü olan test farklılık gösterir. Bu iki farklı yönü aynı anda tüm θ≠θ0\theta \neq \theta_0 değerleri için en güçlü şekilde test eden tek bir 'düzgün' test (UMP) çoğu dağılımda (Bernoulli dahil) mevcut değildir. MLR özelliği sadece tek yönlü hipotezlerde UMP garantisi sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
Bernoulli dağılımının üstel aileye uygunluğunu kontrol etme
f(x;θ)=θx(1−θ)1−x=(1−θ)exp⁡(xln⁡(θ/(1−θ)))f(x; \theta) = \theta^x(1-\theta)^{1-x} = (1-\theta) \exp(x \ln(\theta/(1-\theta)))
Üstel aile yapısı MLR özelliği için bir ön koşuldur.
2
Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) özelliğini belirleme
w(θ)=ln⁡(θ/(1−θ))w(\theta) = \ln(\theta/(1-\theta)) fonksiyonu θ\theta arttıkça artar.
MLR özelliğinin yönü, red bölgesinin hangi tarafta olacağını belirler.
3
Tek yönlü hipotez için Karlin-Rubin Teoremini uygulama
H1:θ>θ0H_1: \theta > \theta_0 için ∑Xi>k\sum X_i > k şeklinde bir UMP testi mevcuttur.
Teorem, MLR varlığında tek yönlü en güçlü testin yapısını verir.
4
Çift yönlü hipotez durumunu analiz etme
H1:θ≠θ0H_1: \theta \neq \theta_0 için hem sağ hem sol sapmaları aynı anda en güçlü şekilde yakalayan tek bir test yoktur.
Çift yönlü alternatiflerde her iki yönde de 'en güçlü' olma şartı genellikle sağlanamaz (UMP yoktur).

Anahtar Kavram

UMP testlerin varlığı ve Karlin-Rubin Teoremi

İpuçları

1
Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) özelliğinin hangi tip hipotezler için UMP testi garanti ettiğini hatırlayın.
2
Karlin-Rubin teoremi tek yönlü (θ>θ0\theta > \theta_0 veya θ<θ0\theta < \theta_0) alternatifler için geçerlidir.
3
Çift yönlü hipotezlerde (H1:θ≠θ0H_1: \theta \neq \theta_0) hem alt hem üst sapmaları aynı anda en güçlü şekilde yakalayacak tek bir 'düzgün' testin neden bulunamayacağını düşünün.

Daha Fazla Pratik

İlişkili bir konu olarak 'Düzgün En Güçlü Yansız (UMPU) Testler' kavramını araştırarak çift yönlü durumlarda kısıtlamalarla nasıl çözüm üretildiğini inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Düzgün En Güçlü (UMP) Testler

Bu konudan daha fazla soru