Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKukla Değişkenli Regresyon

Bir araştırmacı, bir mağazanın günlük satış miktarını (YY), o günkü reklam harcaması (XX) ve mevsimsellik faktörlerini kullanarak modellemek istemektedir. Kukla değişken tuzağına (tam çoklu doğrusal bağlantı) düşmemek için iki farklı eşdeğer regresyon modeli tahmin etmiştir:

Model I (Sabit terimsiz model): Dört mevsimin her biri için ayrı bir kukla değişken (D1D_1: İlkbahar, D2D_2: Yaz, D3D_3: Sonbahar, D4D_4: Kış) modele dahil edilmiş, ancak sabit terim modelden dışlanmıştır.
Yi=α1D1i+α2D2i+α3D3i+α4D4i+θXi+uiY_i = \alpha_1 D_{1i} + \alpha_2 D_{2i} + \alpha_3 D_{3i} + \alpha_4 D_{4i} + \theta X_i + u_i
Model II (Sabit terimli model): Kış mevsimi (D4D_4) temel (baz) kategori olarak belirlenip modele dahil edilmemiş; sabit terim ile birlikte İlkbahar (D1D_1), Yaz (D2D_2) ve Sonbahar (D3D_3) kukla değişkenleri modele eklenmiştir.
Yi=β0+β1D1i+β2D2i+β3D3i+γXi+viY_i = \beta_0 + \beta_1 D_{1i} + \beta_2 D_{2i} + \beta_3 D_{3i} + \gamma X_i + v_i

Her iki model de aynı veri seti kullanılarak En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin edilmiştir. Buna göre, Model II'deki İlkbahar mevsimi kukla değişken katsayısının (β1\beta_1) ve sabit terimin (β0\beta_0) Model I'deki parametreler cinsinden eşdeğeri aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

  1. β1=α1−α4\beta_1 = \alpha_1 - \alpha_4 ve β0=α4\beta_0 = \alpha_4Cevap
  2. B
    β1=α1\beta_1 = \alpha_1 ve β0=α4\beta_0 = \alpha_4
  3. C
    β1=α1−α4\beta_1 = \alpha_1 - \alpha_4 ve β0=0\beta_0 = 0
  4. D
    β1=α1+α4\beta_1 = \alpha_1 + \alpha_4 ve β0=α4\beta_0 = \alpha_4
  5. E
    β1=α1\beta_1 = \alpha_1 ve β0=α1+α2+α3+α4\beta_0 = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4

Cevap

Model II'deki İlkbahar katsayısı β1=α1−α4\beta_1 = \alpha_1 - \alpha_4 ve sabit terim β0=α4\beta_0 = \alpha_4 olarak hesaplanır.
İki model yapısal olarak aynı tahminleri üretir. Baz kategori olan Kış mevsiminde, Model II'nin beklenen değeri yalnızca sabit terime (β0\beta_0) eşittir. Model I'de ise Kış mevsiminin beklenen değeri α4\alpha_4'tür. Bu sebeple β0=α4\beta_0 = \alpha_4 olmak zorundadır. İlkbahar mevsimi için Model I'in ürettiği toplam etki α1\alpha_1 iken, Model II'nin ürettiği toplam etki β0+β1\beta_0 + \beta_1'dir. Bu iki ifade eşitlendiğinde (α1=α4+β1\alpha_1 = \alpha_4 + \beta_1), İlkbahar katsayısı β1=α1−α4\beta_1 = \alpha_1 - \alpha_4 olarak hesaplanır. Bu durum, sabit terimli regresyonlarda kukla değişkenlerin 'baz kategori ile olan farkı' verdiğini matematiksel olarak kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1
Kış mevsimi (baz kategori) için her iki modelin beklenen satış değeri denklemlerini yazmak.
Kışın D1=0,D2=0,D3=0,D4=1D_1=0, D_2=0, D_3=0, D_4=1'dir. Model I'de: E(Y∣Kıs\c)=α4+θXE(Y|Kış) = \alpha_4 + \theta X. Model II'de: E(Y∣Kıs\c)=β0+γXE(Y|Kış) = \beta_0 + \gamma X.
İki model eşdeğer olduğundan, aynı koşullar altında aynı tahmini üretmeleri gerekir.
2
Kış mevsimi denklemlerini eşitleyerek sabit terimin (β0\beta_0) karşılığını bulmak.
α4+θX=β0+γX\alpha_4 + \theta X = \beta_0 + \gamma X eşitliğinden β0=α4\beta_0 = \alpha_4 ve γ=θ\gamma = \theta elde edilir.
Model II'deki sabit terim her zaman dışlanan (baz) kategorinin kesişim parametresini temsil eder.
3
İlkbahar mevsimi için her iki modelin beklenen satış değeri denklemlerini yazmak.
İlkbaharda D1=1D_1=1, diğerleri 0'dır. Model I'de: E(Y∣I˙lkbahar)=α1+θXE(Y|İlkbahar) = \alpha_1 + \theta X. Model II'de: E(Y∣I˙lkbahar)=β0+β1+γXE(Y|İlkbahar) = \beta_0 + \beta_1 + \gamma X.
İlkbahar kukla değişken katsayısının (β1\beta_1) yapısal karşılığını izole etmek.
4
İlkbahar denklemlerini eşitleyerek β1\beta_1'i çözmek.
α1+θX=β0+β1+γX\alpha_1 + \theta X = \beta_0 + \beta_1 + \gamma X olur. γ=θ\gamma = \theta ve β0=α4\beta_0 = \alpha_4 yerlerine konursa: α1=α4+β1\alpha_1 = \alpha_4 + \beta_1 elde edilir. Buradan β1=α1−α4\beta_1 = \alpha_1 - \alpha_4 bulunur.
Sabit terimli bir modelde herhangi bir grubun katsayısı, o grubun baz gruba göre oluşturduğu marjinal farkı (eğimler sabitken kesişim farkını) ölçer.

Anahtar Kavram

Kukla değişken modellerinde alternatif spesifikasyonlar ve katsayıların yorumlanması (fark vs. mutlak değer).
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kukla Değişkenli Regresyon

Bu konudan daha fazla soru