Kitlenin ortalaması \theta ve varyansı \sigma^2 < \infty olan bir ana kütleden n hacimli b… — KPSS İstatistik

Kitlenin ortalaması $\theta$ ve varyansı $\sigma^2 < \infty$ olan bir ana kütleden $n$ hacimli bir rastgele örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) çekilmiştir. $\theta$ parametresini tahmin etmek amacıyla önerilen

T_n = \frac{\sum_{i=1}^n X_i + 1}{n+1}

tahmin edicisi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A
Yansız ve tutarlı bir tahmin edicidir.
Yanlı bir tahmin edicidir ancak tutarlıdır.Cevap
C
Yanlı bir tahmin edicidir ve tutarlı değildir.
D
Yansız bir tahmin edicidir ancak tutarlı değildir.
E
Sadece $\theta = 1$ durumunda tutarlı bir tahmin edicidir.

Cevap

Önerilen tahmin edici yanlı bir tahmin edicidir ancak tutarlıdır.

Hesaplamalar sonucunda tahmin edicinin beklenen değerinin

\theta

'ya eşit olmadığı (yanlı olduğu) ancak Ortalama Hata Karesinin (MSE)

n

sonsuza giderken sıfıra yaklaştığı görülmektedir. MSE'nin sıfıra gitmesi, tahmin edicinin olasılıkta

\theta

'ya yakınsadığını, yani tutarlı olduğunu kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

Tahmin edicinin beklenen değerini hesaplayın.

E[T_n] = E\left[\frac{\sum X_i + 1}{n+1}\right] = \frac{n\theta + 1}{n+1}

Toplama işleminin beklenen değeri, beklenen değerlerin toplamına eşittir.

Yan (bias) miktarını belirleyin.

Bias(T_n) = E[T_n] - \theta = \frac{n\theta + 1}{n+1} - \theta = \frac{1 - \theta}{n+1}

\theta = 1

durumu hariç sonuç sıfır değildir, bu nedenle tahmin edici yanlıdır.

Tahmin edicinin varyansını hesaplayın.

Var(T_n) = Var\left[\frac{\sum X_i + 1}{n+1}\right] = \frac{n\sigma^2}{(n+1)^2}

Sabitlerin varyansı sıfırdır ve varyans operatörü katsayıyı karesiyle dışarı çıkarır.

Ortalama Hata Karesinin (MSE) limitini kontrol ederek tutarlılığı inceleyin.

\lim_{n \rightarrow \infty} MSE(T_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{n\sigma^2}{(n+1)^2} + \left(\frac{1 - \theta}{n+1}\right)^2 \right] = 0 + 0 = 0

MSE'nin limitinin sıfır olması, tahmin edicinin parametreye olasılıksal olarak yakınsadığını (tutarlılığı) gösteren yeterli bir koşuldur.

Anahtar Kavram

Bir tahmin edicinin tutarlı olması için örneklem hacmi arttıkça Ortalama Hata Karesinin (MSE) sıfıra yaklaşması yeterlidir. Bu durum, tahmin edicinin hem varyansının hem de yan miktarının asimptotik olarak yok olması anlamına gelir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru