X_1, X_2, \dots, X_n, olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, … — KPSS İstatistik

$X_1, X_2, \dots, X_n$ , olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, \quad x > 0$ olan üstel dağılıma sahip bir kitleden çekilen $n$ çaplı rastgele bir örneklem olsun.

$\bar{X}$ örneklem ortalamasını göstermek üzere, $\theta^2$ parametresi için yansız bir tahmin edici aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\bar{X}^2$
B
$\frac{n-1}{n} \bar{X}^2$
C
$\frac{n}{n-1} \bar{X}^2$
$\frac{n}{n+1} \bar{X}^2$ Cevap
E
$\frac{n+1}{n} \bar{X}^2$

Cevap

\theta^2

parametresi için yansız tahmin edici

\frac{n}{n+1} \bar{X}^2

istatistiğidir.

Verilen üstel dağılım için

E[X] = \theta

Var(X) = \theta^2

olduğu bilinmektedir. Buradan örneklem ortalamasının beklenen değeri

E[\bar{X}] = \theta

ve varyansı

Var(\bar{X}) = \frac{\theta^2}{n}

olarak bulunur. İstatistikte

Var(\bar{X}) = E[\bar{X}^2] - (E[\bar{X}])^2

temel eşitliği kullanılarak

E[\bar{X}^2]

hesaplanır:

E[\bar{X}^2] = \frac{\theta^2}{n} + \theta^2 = \theta^2 \left(\frac{n+1}{n}\right)

. Bizden beklenen değeri

\theta^2

olan bir istatistik istendiği için, her iki taraf

\frac{n}{n+1}

ile çarpılır ve

E\left[\frac{n}{n+1} \bar{X}^2\right] = \theta^2

eşitliği elde edilir. Bu eşitlik,

\frac{n}{n+1} \bar{X}^2

istatistiğinin yansız olduğunu kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

Kitle dağılımının beklenen değerini ve varyansını belirle.

E[X_i] = \theta

Var(X_i) = \theta^2

Örneklem ortalamasının momentlerini bulabilmek için kitlenin temel momentlerine ihtiyaç vardır.

Örneklem ortalaması

\bar{X}

'in beklenen değerini ve varyansını hesapla.

E[\bar{X}] = \theta

Var(\bar{X}) = \frac{\theta^2}{n}

\bar{X}^2

'nin beklenen değerine ulaşmak için

\bar{X}

'in dağılım özelliklerini kullanmalıyız.

Varyans formülünü kullanarak

E[\bar{X}^2]

değerini hesapla.

E[\bar{X}^2] = Var(\bar{X}) + (E[\bar{X}])^2 = \frac{\theta^2}{n} + \theta^2 = \theta^2 \left(\frac{n+1}{n}\right)

Yansızlık analizi, tahmin edicinin beklenen değerinin alınmasını gerektirir.

Bulunan eşitliği

\theta^2

yalnız kalacak şekilde düzenleyerek yansız tahmin ediciyi elde et.

Eşitliğin her iki tarafı

\frac{n}{n+1}

ile çarpıldığında

E\left[\frac{n}{n+1} \bar{X}^2\right] = \theta^2

bulunur.

Yansız bir tahmin edicinin beklenen değeri doğrudan tahmin edilmek istenen parametreye (

\theta^2

) eşit olmalıdır.

Anahtar Kavram

Doğrusal Olmayan Fonksiyonlarda Yansızlık Düzeltmesi ve Momentler

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru