Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

Bir araştırmacı, kitleye ait bilinmeyen bir θ\theta parametresini tahmin etmek amacıyla nn çaplı rastgele bir örneklem üzerinden TnT_n tahmin edicisini önermiştir.

İstatistiksel analizler sonucunda bu tahmin edicinin beklenen değeri ve varyansı sırasıyla aşağıdaki gibi elde edilmiştir:
E(Tn)=nθ−3nE(T_n) = \frac{n\theta - 3}{n}
V(Tn)=4θ2nV(T_n) = \frac{4\theta^2}{n}

Buna göre, TnT_n tahmin edicisinin yansızlık ve tutarlılık özellikleri hakkında aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. TnT_n yanlı bir tahmin edicidir; ancak örneklem çapı sonsuza giderken hata kareler ortalaması (MSE) sıfıra yaklaştığı için θ\theta'nın tutarlı bir tahmin edicisidir.Cevap
  2. B
    TnT_n her nn değeri için yansız bir tahmin edicidir ve varyansının limiti sıfır olduğu için aynı zamanda tutarlı bir tahmin edicidir.
  3. C
    TnT_n'nin içerdiği yan miktarı nedeniyle hata kareler ortalaması varyansından daima büyüktür, bu nedenle θ\theta için tutarsız bir tahmin edicidir.
  4. D
    TnT_n yanlı bir tahmin edici olduğundan, Chebyshev eşitsizliği gereği olasılıkta yakınsama şartını sağlayamaz ve tutarsızdır.
  5. E
    TnT_n'nin beklenen değeri örneklem çapı büyüdükçe θ\theta'ya yaklaşsa da, varyansı bilinmeyen parametre θ\theta'ya bağlı olduğu için tahmin edici tutarsızdır.

Cevap

Verilen tahmin edici küçük örneklemlerde yanlıdır, ancak örneklem çapı sonsuza giderken hata kareler ortalaması (MSE) sıfıra yaklaştığından dolayı tutarlı bir tahmin edicidir.
Verilen beklenen değer ifadesi E(Tn)=θ−3nE(T_n) = \theta - \frac{3}{n} şeklinde düzenlendiğinde, yan miktarının −3n-\frac{3}{n} olduğu görülür. Bu nedenle TnT_n küçük örneklemlerde yanlıdır. Tutarlılık için yeterli şart olan Hata Kareler Ortalamasının (MSE) limitine bakıldığında; MSE=V(Tn)+Bias2=4θ2n+9n2MSE = V(T_n) + Bias^2 = \frac{4\theta^2}{n} + \frac{9}{n^2} elde edilir. Örneklem çapı sonsuza giderken (n→∞n \to \infty) bu ifadenin limiti 00'dır. MSE→0MSE \to 0 şartı sağlandığından, TnT_n tahmin edicisi θ\theta için tutarlıdır. Doğru ifade, bu iki temel çıkarımı tam olarak karşılamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Tahmin edicinin yan miktarını (Bias) hesapla.
Bias(Tn)=E(Tn)−θ=(θ−3n)−θ=−3nBias(T_n) = E(T_n) - \theta = \left(\theta - \frac{3}{n}\right) - \theta = -\frac{3}{n}
Yansızlık özelliğini kontrol etmek için beklenen değerden gerçek parametre değeri çıkarılmalıdır. Sonuç sıfırdan farklı olduğu için tahmin edici yanlıdır.
2
Örneklem çapı sonsuza giderken asimptotik yansızlığı kontrol et.
lim⁡n→∞Bias(Tn)=lim⁡n→∞(−3n)=0\lim_{n \to \infty} Bias(T_n) = \lim_{n \to \infty} \left(-\frac{3}{n}\right) = 0
Yan limitinin sıfır olması, tahmin edicinin asimptotik olarak yansız olduğunu gösterir.
3
Hata Kareler Ortalaması (MSE) değerini formüle et.
MSE(Tn)=V(Tn)+[Bias(Tn)]2=4θ2n+(−3n)2=4θ2n+9n2MSE(T_n) = V(T_n) + [Bias(T_n)]^2 = \frac{4\theta^2}{n} + \left(-\frac{3}{n}\right)^2 = \frac{4\theta^2}{n} + \frac{9}{n^2}
Bir tahmin edicinin tutarlılığını göstermenin yeter koşulu, MSE değerinin limitinin sıfır olmasıdır.
4
MSE'nin n→∞n \to \infty için limitini hesapla.
lim⁡n→∞MSE(Tn)=lim⁡n→∞(4θ2n+9n2)=0+0=0\lim_{n \to \infty} MSE(T_n) = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{4\theta^2}{n} + \frac{9}{n^2}\right) = 0 + 0 = 0
Hem varyans limiti hem de yan miktarının karesinin limiti sıfır olduğundan, MSE sıfıra yakınsar. Bu durum tahmin edicinin θ\theta için tutarlı olduğunu ispatlar.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması (MSE) Yoluyla Tutarlılık Analizi
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

Bu konudan daha fazla soru