X_1, X_2, \dots, X_n, beklenen değeri \mu ve varyansı \sigma^2 (\sigma^2 < \infty) olan bi… — KPSS İstatistik

$X_1, X_2, \dots, X_n$ , beklenen değeri $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ ( $\sigma^2 < \infty$ ) olan bir dağılımdan rastgele çekilmiş $n$ hacimli bir örneklemi göstersin. $\mu$ parametresini tahmin etmek amacıyla,

T_n = \bar{X} + \frac{3}{\sqrt{n}}

tahmin edicisi tanımlanmıştır.

Buna göre $T_n$ tahmin edicisi için aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Yanlı bir tahmin edicidir, ancak hata kareler ortalaması (MSE) örneklem çapı sonsuza giderken sıfıra yakınsadığı için tutarlıdır.Cevap
B
Her $n$ örneklem çapı için yansızdır ve büyük örneklemlerde tutarlılık özelliğini sağlar.
C
Asimptotik olarak yansızdır; ancak varyansı $n \to \infty$ iken sıfıra gitmediği için tutarsızdır.
D
Yan miktarı örneklem çapıyla birlikte arttığı için hem asimptotik olarak yanlıdır hem de tutarsızdır.
E
Yansızlık şartını sağlamadığı için tutarlılık koşullarını baştan ihlal etmektedir ve tutarsızdır.

Cevap

Tahmin edici sonlu örneklemlerde yanlıdır ancak hata kareler ortalaması asimptotik olarak sıfıra gittiği için tutarlı bir tahmin edicidir.

Doğru ifade, tahmin edicinin yanlı olduğunu ancak tutarlılık özelliğini taşıdığını belirten ifadedir.

E(T_n) = \mu + 3/\sqrt{n}

olduğundan tahmin edici yanlıdır. Ancak MSE'yi hesaplarsak:

MSE(T_n) = Var(T_n) + Bias(T_n)^2 = \frac{\sigma^2}{n} + \frac{9}{n}

. Örneklem çapı

n

sonsuza giderken MSE'nin limiti

0

olmaktadır. MSE'si sıfıra giden bir tahmin edici olasılıkta yakınsar ve dolayısıyla tutarlıdır.

Adım Adım Çözüm

T_n

'nin beklenen değerini ve yan miktarını (Bias) hesaplayın.

E(T_n) = E(\bar{X}) + E(\frac{3}{\sqrt{n}}) = \mu + \frac{3}{\sqrt{n}}

. Yan miktarı

Bias(T_n) = E(T_n) - \mu = \frac{3}{\sqrt{n}}

bulunur.

Tahmin edicinin yansız olup olmadığını ve asimptotik yan davranışını belirlemek için.

T_n

'nin varyansını hesaplayın.

Var(T_n) = Var(\bar{X} + \frac{3}{\sqrt{n}})

. Sabit bir terimin varyansı

0

olduğu için

Var(T_n) = Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}

elde edilir.

Hata kareler ortalamasını (MSE) bulabilmek için tahmin edicinin varyansına ihtiyaç vardır.

Hata Kareler Ortalamasını (MSE) hesaplayın ve

n \to \infty

için limitini alın.

MSE(T_n) = Var(T_n) + [Bias(T_n)]^2 = \frac{\sigma^2}{n} + (\frac{3}{\sqrt{n}})^2 = \frac{\sigma^2}{n} + \frac{9}{n} = \frac{\sigma^2 + 9}{n}

. Limit alındığında

\lim_{n \to \infty} \frac{\sigma^2 + 9}{n} = 0

olur.

Bir tahmin edicinin tutarlı olması için yeterli koşul, asimptotik olarak MSE değerinin sıfıra gitmesidir.

Anahtar Kavram

Tutarlılık (Consistency) ve Hata Kareler Ortalaması Yakınsaması

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru