Examkin

Soru

Zorluk: KolayMonoton Olabilirlik Oranı (MLR)

Bir kamu kurumunda yapılan performans ölçümlerinde, sistemdeki gecikme sürelerinin parametresi θ>0\theta > 0 olan bir Üstel dağılıma (f(x;θ)=θe−θx,x>0f(x; \theta) = \theta e^{-\theta x}, x > 0) uygun olduğu varsayılmaktadır. Bu dağılımdan çekilen bağımsız bir örneklem için θ2>θ1\theta_2 > \theta_1 koşulu altında olabilirlik oranı R=L(θ2)L(θ1)R = \frac{L(\theta_2)}{L(\theta_1)} hesaplanmıştır.

Buna göre RR oranı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i istatistiğine göre monoton azalan bir fonksiyondur.Cevap
  2. B
    ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i istatistiğine göre monoton artan bir fonksiyondur.
  3. C
    ∏i=1nXi\prod_{i=1}^n X_i istatistiğine göre monoton azalan bir fonksiyondur.
  4. D
    max⁡(X1,…,Xn)\max(X_1, \dots, X_n) istatistiğine göre monoton artan bir fonksiyondur.
  5. E
    ∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2 istatistiğine göre monoton azalan bir fonksiyondur.

Cevap

Olabilirlik oranı, gözlemlerin toplamı istatistiğine göre monoton azalan bir fonksiyondur.
Üstel dağılım ailesinde olabilirlik oranı hesaplandığında, sabit terimler dışındaki değişken kısım e−(θ2−θ1)∑Xie^{-(\theta_2 - \theta_1) \sum X_i} şeklindedir. θ2>θ1\theta_2 > \theta_1 varsayımı altında, üstteki katsayı negatif olduğundan, bu oran toplam istatistiği arttıkça azalmaktadır. Dolayısıyla gözlemlerin toplamına göre monoton azalan bir yapı sergiler.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik fonksiyonunu yazın.
L(θ)=∏i=1nθe−θxi=θne−θ∑xiL(\theta) = \prod_{i=1}^n \theta e^{-\theta x_i} = \theta^n e^{-\theta \sum x_i}
Bağımsız gözlemlerin ortak yoğunluk fonksiyonunu elde etmek için.
2
θ2>θ1\theta_2 > \theta_1 için olabilirlik oranını oluşturun.
R=L(θ2)L(θ1)=θ2ne−θ2∑xiθ1ne−θ1∑xi=(θ2θ1)ne−(θ2−θ1)∑xiR = \frac{L(\theta_2)}{L(\theta_1)} = \frac{\theta_2^n e^{-\theta_2 \sum x_i}}{\theta_1^n e^{-\theta_1 \sum x_i}} = \left(\frac{\theta_2}{\theta_1}\right)^n e^{-(\theta_2 - \theta_1) \sum x_i}
Monotonluk özelliğinin hangi istatistiğe bağlı olduğunu görmek için.
3
Oranın T(X)=∑XiT(X) = \sum X_i istatistiğine göre değişimini inceleyin.
θ2>θ1\theta_2 > \theta_1 olduğundan (θ2−θ1)>0(\theta_2 - \theta_1) > 0 olur. Bu durumda e−(pozitif)⋅T(X)e^{-(\text{pozitif}) \cdot T(X)} ifadesi T(X)T(X) arttıkça azalır.
Monotonluk yönünü belirlemek için.

Anahtar Kavram

Üstel aile dağılımlarında Monoton Olabilirlik Oranı (MLR), yeterli istatistiğin bir fonksiyonudur ve bu fonksiyonun yönü parametrik yapıya bağlıdır.

İpuçları

1
Üstel dağılımın olabilirlik fonksiyonunu yazarak gözlemlerin hangi biçimde (toplam, çarpım vb.) birleştiğine bakın.
2
Olabilirlik oranında ee üzerindeki ifadenin işaretine dikkat edin. Pozitif bir katsayı ile çarpılan negatif bir değişken azalanlığı ifade eder.

Daha Fazla Pratik

Aynı soruyu θ\theta yerine ortalama parametresi olan μ=1/θ\mu = 1/\theta üzerinden çözerek monotonluk yönünün nasıl değiştiğini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Üstel aile formunu (f(x∣θ)=h(x)c(θ)exp⁡[w(θ)T(x)]f(x|\theta) = h(x)c(\theta)\exp[w(\theta)T(x)]) kullanarak doğrudan T(x)=xT(x) = x ve w(θ)=−θw(\theta) = -\theta olduğunu görebilirsiniz. w(θ)w(\theta) azalan olduğu için oran T(x)T(x)'e göre azalan olacaktır.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR)

Bu konudan daha fazla soru