Examkin

Soru

Zorluk: KolayTek Değişkenli Dönüşüm (Değişken Değiştirme) Yöntemi

Bir kamu kurumunda personelin iş yükü endeksi XX sürekli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. XX değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x)=2x,0<x<1f(x) = 2x, \quad 0 < x < 1 olarak belirlenmiştir. Kurumdaki yeni bir düzenleme ile bu endeksin Y=3XY = 3X şeklinde bir kapasite dönüşümüne uğraması planlanmaktadır. Buna göre, YY değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu fY(y)f_Y(y) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. fY(y)=29y,0<y<3f_Y(y) = \frac{2}{9}y, \quad 0 < y < 3Cevap
  2. B
    fY(y)=23y,0<y<3f_Y(y) = \frac{2}{3}y, \quad 0 < y < 3
  3. C
    fY(y)=29y,0<y<1f_Y(y) = \frac{2}{9}y, \quad 0 < y < 1
  4. D
    fY(y)=2y,0<y<3f_Y(y) = 2y, \quad 0 < y < 3
  5. E
    fY(y)=y3,0<y<3f_Y(y) = \frac{y}{3}, \quad 0 < y < 3

Cevap

fY(y)=29y,0<y<3f_Y(y) = \frac{2}{9}y, \quad 0 < y < 3 fonksiyonu doğru olasılık yoğunluk fonksiyonudur.
Verilen fX(x)=2xf_X(x) = 2x fonksiyonunda xx yerine ters dönüşüm olan y/3y/3 yazılıp, bu ifadenin Jakobiyen değeri olan 1/31/3 ile çarpılması sonucunda fY(y)=(2y/3)×(1/3)=2y/9f_Y(y) = (2y/3) \times (1/3) = 2y/9 elde edilir. Sınırlar da 33 katına çıkarak 0<y<30 < y < 3 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Ters dönüşüm fonksiyonunu belirle
x=y3x = \frac{y}{3}
y=3xy = 3x olduğundan, xx değişkenini yy cinsinden ifade etmemiz gerekir.
2
Jakobiyen (türev) değerini hesapla
J=∣dxdy∣=13J = \left| \frac{dx}{dy} \right| = \frac{1}{3}
Değişken değiştirme yönteminde, ters fonksiyonun türevi olasılık yoğunluğunu ölçeklemek için gereklidir.
3
Yeni değişkenin sınırlarını (tanım aralığını) belirle
0<y<30 < y < 3
0<x<10 < x < 1 aralığı y=3xy = 3x dönüşümü altında 0<y<30 < y < 3 aralığına taşınır.
4
Değerleri formülde yerine koy
fY(y)=2(y3)⋅13=29yf_Y(y) = 2\left(\frac{y}{3}\right) \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}y
fY(y)=fX(w(y))⋅∣J∣f_Y(y) = f_X(w(y)) \cdot |J| kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Tek değişkenli sürekli rastgele değişkenlerde, y=g(x)y=g(x) dönüşümü için olasılık yoğunluk fonksiyonu fY(y)=fX(g−1(y))⋅∣ddyg−1(y)∣f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot |\frac{d}{dy}g^{-1}(y)| formülü ile bulunur.

Daha Fazla Pratik

Doğrusal olmayan dönüşümler (örneğin Y=X2Y=X^2) için bölge analizi yapmayı deneyin.

Alternatif Yöntem

Önce birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) yöntemi kullanılabilir: FY(y)=P(Y≤y)=P(3X≤y)=P(X≤y/3)=FX(y/3)F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(3X \leq y) = P(X \leq y/3) = F_X(y/3). Ardından bu ifadenin türevi alınarak PDF bulunur: fY(y)=FY′(y)=fX(y/3)⋅(1/3)f_Y(y) = F_Y'(y) = f_X(y/3) \cdot (1/3).
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tek Değişkenli Dönüşüm (Değişken Değiştirme) Yöntemi